2009高等代数(下)考试卷(A).doc

2009-2010学年第二学期 高等代数(下）期末考试试卷（A卷） 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．( )下列所定义的变换，哪一个是线性变换 (A)在线性空间V中，设为一固定的非零向量，对于任意的，定义; (B) 在中，定义; (C) 在中，定义; (D) 在中，定义,其中为P中一个固定的数。 ２．（ 　 ）在实数域R中，由全体3阶矩阵所构成的线性空间V的维数为 　　　（A）2；　（B）4；　（C）6；　（D）9。 3. (　　　) 如果, 是线性空间V的两个子空间, 且, , , 那么?为 (A) 2 　　 (B) 3 　 (C) 4 　 (D) 5 ４．（ 　　）设为欧氏空间V的一个线性变换，符号表示向量和的内积，则下列哪一说法与为正交变换不等价 (A) 对任意，有； (B) 对任意，有; (C) 对任意，有; (D) 在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. ５. ( 　 ) 设A和B为数域P上的n阶方阵，则A和B相似当且仅当 (A) A和B有相同的特征值； (B) A和B有相同的秩；　 (C) 存在着行列式不为零的n阶方阵T使得 ； ( D) A和B有相同的迹。 二、 填空题，则 ________。 2. 设的两个线性变换，定义如下, ()，则 　 　　　　。 3. 在线性空间中，定义线性变换，则在基下 的矩阵为 　　　 　　 。 4. 复数集C作为实数域R上的线性空间的维数为 　。 5．求线性空间中多项式在基底下的坐 标为 　　　　　　 。 判断题（对的打”√”,错的打”X”，本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设，则对于矩阵的加法和数量乘法可以构成实数域上的线性空间 ( 　 ） 2. 两个矩阵相似当且仅当它们有相同的特征多项式 ( 　　 ) 3. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数 ( ) 4．次数等于ｎ 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ） 5．对称矩阵Ａ可逆的充要条件是Ａ的所有特征值都不为零 ( 　 ） 计算题（本大题共3小题，每小题11分，共33分） 1．在中，求从基 到另外一组基 的过渡矩阵，并且求向量在基下的坐标。 2. 设为数域P上的线性空间V的线性变换，设为V的一组基，并且有求的值域和核。 3. 求正交矩阵T使化成对角形矩阵，其中A为。 得分 证明题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 1. 设V是数域P上的线性空间，证明：如果V含有非零的向量，则V必含有无限多个向量。 2．设是非零线性空间 V 的线性变换，如果，但，求证 线性无关，其中。 3. 设V=，对于V中任意的向量,，定义V上的内积为， 定义V上的一个变换为，其中为一个固定的角度。 证明：(1) 为V上的线性变换；(2) 为第一类的正交变换。 2 装订线