2012-13高等数学3(下)期末试题(附答案).doc

2012-2013学年第二学期 全校经管类等专业《高数3（下）》期末试卷参考答案 一、基本题（共个小题分）1. 求级数的部分和，并判定级数的收敛性. 因为 所以级数发散 2. 判断级数的敛散性. 正项级数的比值审敛法 所以收敛 3. 将积分 转化为极坐标形式，并计算积分值. 是型区域且 在极坐标系下 4. 求微分方程 满足条件的特解. 一阶线性非齐次微分方程其中,由公式 将 代入上式，得 故 是满足条件的特解 5. 求差分方程的通解. 由差分方程的标准方程知 所以 原方程所对应的齐次方程的通解为 ，，所以设特解，代入原方程 的 所以 故 原方程的通解 二、共个小题分 1.(7分) 求与两平面和的交线平行且过点的直线方程. 最主要是求出直线的法向量方向向量，即两平面交线的方向向量 ， ，所以取 所以过点的直线方程为 2.（7分） 设函数 ，其中具有连续一阶偏导数，求，与. ，， 则 3. （6分）求的二阶偏导数,. , ， 4.（12分） 生产某种产品需要投入甲、乙两种原材料，（单位：吨）分别为它们各自的投入量，该产品的产量为（单位：吨），如果原材料的价格分别为50,60（单位：万元/吨）.问当投入两种原材料的总费用为1200（单位：万元）时，两种原料各投入多少可使该产品的产量最大？ 已知条件 ，即 目标函数： 求目标函数在已知条件下的最大值问题，利用拉格朗日乘数法： 设 （注意此处的是目标函数的3次方，当时，一定达到最大） 求解方程组 求解得到 即 即当时，总产量达到最大。最大产量 三、下列各题（共个小题）．（分），其中由抛物线及直线所围成的闭区域. （1）化二重积分为先对、后对的二次积分； 求交点 得 区域，其中， 故+ （2）化二重积分为先对、后对的二次积分并求其值. 2．（分），试求 （1）该幂级数的收敛半径、收敛区间； 所以收敛半径 收敛区间为 （2）该幂级数的收敛域. 当时，原幂级数即为，此级数是级数且，所以级数发散 当时，原幂级数即为， 此级数是交错级数，由莱布尼兹判别法知此级数收敛 故幂级数的收敛域为 3．（分）， （1）写出方程 对应的齐次方程，并求该齐次方程的通解； 齐次方程 特征方程 特征根为，故该齐次方程的通解为 （2）参照下图提供的信息，求出方程 的通解. 所以原方程通解为+ 4.（分）设，. 此题中的变量t对于积分变量以及来说是常数， 之前没有学过重积分的变上限积分函数求导数，所以先交换积分 ，利用定积分的变上限积分函数的导数 求解 Y型积分区域为 转化为X型积分区域为 所以 第3页（共3页）