2014高等代数试题及答案.doc

中国海洋大学 学年 第学期 共 2 页 第 1 页 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 文具，满分为：100 分. 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 ＋,则dim+dim=dimV. ( ) 2.特征向量的和仍是特征向量. ( ) 3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的. ( ) 4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间. ( ) 5.全体阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间. ( )二(20分)已知,.求的特征值和特征向量,并求一正交阵 使成对角形. 三(20分)设是数域上形如的循环矩阵的集合， (1) 证明:是线性空间 的子空间. （2）有. （3）求的维数和一组基. 四(10分)设为3阶复数矩阵,与 等 价.，求的若当标准形. 授课教师命题教师或命题负责人签字 年 月 日 院系负责人签字 年 月 日 共 2 页 第 2 页 五(10分)证明：设为n级矩阵,是矩阵的最小多项式,则多项式以为根的充要条件是|. 六(10分)设V是数域上的n维线性空间,是上的线性变换，且.证明:的值域与核都是的不变子空间. 七(10分)设阶矩阵,,求的最小多项式. 八(10分)设是数域上线性空间上的线性变换,多项式互素,且满足(零变换) 求证： 中国海洋大学 XXXX-XXXX学年 第学期 共 页 第 页 中国海洋大学 2007-2008学年 第学期=，，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： ，， ，. 所以正交阵 而. 三.证：(1) 验证即可. (2) 令，为循环阵， ，(为阶单位阵) 则在上线性无关. 且，令有. ，必上次多项式，使，反之亦真. (3)由上可知：是的一组基，且. 四.解：A的行列式因子为, . 所以，不变因子为, ，初等因子为， 因而A的Jordan标准形为 五．证： ： 设, 或. 所以, 因而. 因为为最小多项式，所以.. 六．证：在的核中任取一向量，则 所以在下的像是零，即．即证明了是的不变子空间． 在的值域中任取一向量，则. 因此，也是的不变子空间． 综上，的值域与核都是的不变子空间． 七．解： 当时，由于， 当时，由于， 八．证：先证，显然， 互素，使得 （单位变换） 设 再证：是直和 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ----------------装----------------订----------------线---------------- 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ----------------装----------------订----------------线---------------- 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ----------------装----------------订----------------线----------------