中国人民大学(第四版)高等数学一第8章课后习题详解.doc

第八章空间解析几何与向量代数 内容概要 名称 主要内容（7-1，7-2，7-3） 向量及线性运算 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 向量与数的乘法 ：当时，表示和同向，的向量； 当，表示和反向，的向量； 主要性质：（1）单位化向量为，（2） 向量的坐标 的距离： 向量的代数运算 向量的模、方向余弦：， 向量在轴上的投影： 数量积向量积混合积 数量积 定义及运算： 主要性质：（1）；（2），（3） 向量积 定义 运算 的模为， 方向为指向大拇指方向 性质：（1）表示以、为邻边的平行四边形面积； （2） 混合积 定义及运算： 性质：（1） （2）共面的充要条件： 习题7-1 ★★1．填空： 要使成立，向量应满足 要使成立，向量应满足，且同向 ★2．设，试用表示向量 知识点：向量的线性运算 解： ★3．设两点的向径分别为，点在线段上，且，证明点的向径为 知识点：向量的线性运算 证明：在中，根据三角形法则，又， ∴ ★★4．已知菱形的对角线，试用向量表示。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， ，又为菱形， ∴（自由向量）， ∴ ∴， ★★5．把的边五等分，设分点依次为，再把各分点与点连接，试以 表示向量和。 知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5， 根据三角形法则， 同理： 习题7-2 ★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ ； ； ； 答：在第四卦限，在第五卦限，在第八卦限，在第三卦限 ★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置： 知识点：空间直角坐标 答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零， ∴点在xoy坐标面上；在yoz坐标面上；在x轴上；在y轴上。 ★3．求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。 答：（1）关于xoy面的对称点的坐标为；关于xoz面的对称点的坐标为； 关于yoz面的对称点的坐标为。 （2）关于x轴的对称点的坐标为；关于y轴的对称点的坐标为；关于z轴的对称点的坐标为 （3）关于原点的对称点的坐标为 ★★4．过点分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 答：过点平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为，因此坐标为；过点平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为，因此坐标为 ★5．求点到各坐标轴的距离。 解：∵到x轴的距离为 ∴到x轴的距离为； 同理到y轴的距离为； 到z轴的距离为 ★★6．在yoz面上，求与三点等距离的点。 知识点：空间两点的距离 解：∵所求点在yoz面上，∴设所求点的坐标为，由条件可知： ，∴所求点为 ★7．已知两点，试用坐标表示式表示向量。 知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算 解：； ★8．求平行于向量的单位向量 知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：平行于向量的单位向量有和同向和反向两个， ∴ ★★9．已知两点，计算向量的模、方向余弦、方向角。 知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得： ★★10．已知向量的模为3，且其方向角，求向量。 知识点：向量的坐标表示及相关概念 解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得： ★★11．设向量的方向余弦分别满足 问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？ 知识点：向量的方向余弦 解：（1）表示向量和x轴正向夹角为，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面 （2）表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同 （3）表示向量和x、y轴正向夹角都为，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行于z轴 ★12．已知与轴的夹角是，求。 知识点：向量在轴上的投影 解：根据投影公式 ★★13．一向量的终点为，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为，求该向量的起点的坐标。 知识点：向量在坐标轴上的投影 解：∵向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影，设起点为，则： ★★14．求与向量平行，方向相反，且长度为75的向量。 知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：由条件可得：，长度为75，∴ ∵和反向，∴， 习题7-3 ★★1．设，且两向量的夹角，试求。 知识点：向量的数量积及其运算规律 解：根据数量积的运算规律： ，∵ ★★2．已知，求同时与垂直的单位向量 知识点：向量的向量积 解：∵由向量积性质：， ∴为同时与垂直的向量 ∴所求单位向量为 ★3．设力作用在一质点上，质点由沿直线移动到，求此力所做的功（设力的单位为N，位移的单位为m） 知识点：数量积的物理意义 解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位