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弹性力学课后习题详解
第一章习题
1-1 试举例证明,什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体,什么是非均匀的各向异性体。
1.均匀的各向异性体:
如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成,故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同,故为各向异性的。
2.非均匀的各向同性体:
实际研究中,以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的,或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值,因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀(即点点材性不同),即使各点单独考察都是各向同性的,也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。
实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体,密度由上到下逐渐加大,非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。
再考察素混凝土构件,由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响,则为均匀的,同时也必然是各向同性的。反之,如果构件尺寸较小,粗骨料颗粒尺寸不允许忽略,则为非均匀的,同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸,因此也必然是各向异性体。因此,将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。
3.非均匀的各向异性体:
如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成,故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同,故为各向异性的。
1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体?
理想弹性体指:连续的、均匀的、各向同性的、完全(线)弹性的物体。
一般的混凝土构件(只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小)可在开裂前可作为理想弹性体,但开裂后有明显塑性形式,不能视为理想弹性体。
一般的钢筋混凝土构件,属于非均匀的各向异性体,不是理想弹性体。
一般的岩质地基,通常有塑性和蠕变性质,有的还有节理、裂隙和断层,一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。
一般的土质地基,虽然是连续的、均匀的、各向同性的,但通常具有蠕变性质,变形与荷载历史有关,应力-应变关系不符合虎克定律,不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。
1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途?
连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全(线)弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样,可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样,坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性,且可采用变形前的尺寸列平衡方程。
1-4 应力和面力的符号规定有什么区别?试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。
面力的正/负总是按与坐标轴正向是/否一致来确定,与所讨论的边界面的外法线方向(可能与坐标轴正向一致或相反,或者与坐标轴呈一夹角)无关。对于平行于坐标面的截面上的应力而言,其正负号取决于两方面,一是所讨论的截面的外法线方向是否与坐标轴正向一致(即该截面是正面还是负面),二是应力本身方向与坐标轴正向是否一致。
教材P4图1-3标出所有平行于坐标面的截面上的应力的正方向。分别设想该图的某一面为边界面,则右面、上面、前面的面力正方向与应力正方向一致,而左面、下面、后面的面力正方向与应力正方向相反。
1-5 试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。
材力中切应力符号的规定,通常按使微元体顺/逆时针转为+/-。弹力则规定正面上切应力与坐标轴方向一致为+、负面上切应力与坐标轴方向相反为+。根据剪应力互等,某个坐标面内的2对切应力总是一对顺时针一对逆时针,因此按材力规定则切应力变化下标后,大小相等、符号改变,即切应力互等差一负号,而按弹力规定使切应力变化下标后,大小相等、符号不变,即切应力互等绝对成立。
1-6 试举例说明正的应力对应于正的形变。
关于本题的理解:(1)“正的应力”包括正的正应力、正的剪应力(注意“正的应力”不只等价于“正应力” ) ;(2)“正的形变”包括正的线应变、正的切应变;(3)所谓“对应”是指应力、形变下标一致的两者对应,如对应、对应等。参考答案如下:
(1)说明正的正应力对应正的线应变:以图3-1(a)简单拉伸问题为例,设0,则有应力解答0,=0,=0。由物理方程(2-12)得(此外还有,=0),即板沿y轴伸长。可见,拉应力(即正的正应力)对应线段的相对伸长(即正的线应变)。从本例也可见,正应力为零时对应的线应变不一定为零,但正应力不为零时对应的线应变一定不为零,而且正负号一致。
(2)说明正的切应力对应正的切应变:以右图微元体纯剪切问题为例,设0,则有=0,=0,0。由物理方程(2-12)得0(此外还有=0、=0)。可见,正的切应力对应正的切应变。
这里要对切应变的几何含义加以解释。右图为上述正的切应力作用下的微元体变形后的图形。注意到∠DAB、∠DCB处直角变为锐角,与上述0也是一致的。但∠AB
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