正态分布与生活.doc

Harbin Institute of Technology 概率论与数理统计课程论文 题目 学院 机电工程 班级 ######## 学号 姓名 ##### 指导老师 2014年12月13日 正态分布与生活 作者 机电工程学院 电话：#######@163.com 摘要正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力，由μ、σ决定生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。 关键词 1正态分布的发展历史 正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。 2.1定义 若随机变量服从一个位置参数为尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为 则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从分布就称为正态分布，记，读作服从，或服从正态分布。 当时，正态分布就成为标准正态分布 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 下面为不同μ和σ下的正态分布曲线： 图1 μ=0，σ=1的正态分布曲线 图2 μ=3，σ=1的正态分布曲线 图3 μ=3，σ=0.5的正态分布曲线 2.2 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作μ, σ2)，均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。 σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数。世纪年代中期，联合国在其出版的《用于总体估计的基本数据质量鉴定方法》（手册Ⅱ）（Methods of Appraisal of Quality of Basic Data for Population Estimate ，Manual Ⅱ）认为：出生性别比偏向于男性。一般来说，每出生名女婴，其男婴出生数置于之间。此分析明确认定了出生性别比的通常值域为之间。从此出生性别比值下限不低于、上限不超过的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常。近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开。下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况。 由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值102-107很多。 4正态分布在成绩分析中的应用 下面以《复变函数与积分变换》40名同学的考试成绩为例，通过频数分布图来考察其成绩的分布，学生的考试成绩在正常情况下应服从正态分布，也就是说，把考试成绩作为横坐标，得该分的人数为纵坐标，在适当分组后，画成频数图，大致上是满足“中间高，两边低，左右对称”这一特点。 图4 成绩频数分布图 由此也可以看出正态分布的应用，其条件是组成的因子相互独立，且机率相等。在实际分析时，影响随机变量分布的那些随机因素对总和的影响较小，而且是独立的，当总和的个数足够大时，其分布规则才符