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浅析简单的高斯方程的解法 广东省深圳市建文中学高中数学老师欧阳文丰 一、知识概念介绍 1、高斯函数的表示； [x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。 2、高斯函数的基本性质； 性质1： [x]≤x＜[x]+1 x-1＜[x] ≤x 0≤{x}1 性质2: [n+x]=n+[x],x为实数, n为整数 性质3:{x+n}={x}, n为整数 性质4:X= [x] + ｛χ｝ 3、简单的高斯方程；是指含有[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分的简单方程。求解简单的含高斯函数方程就是利用以上的性质进行转化来求解方程的未知数的值。 二、例题学习 例1、解方程:[x]-4{x}=3,其中:[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。 解： 把[x]-4{x}=3整理变形得：[x]= 4{x}+3 因为0≤{x}1， 所以3≤4{x}+3＜7 即3≤ [x] ＜7 [x] =3, 4, 5, 6。 (1)、当[x] =3时, 代入原方程得:3- 4{x}=3, 解得： {x}=0； 所以x= [x] + {x}=3+0=3 (2)、当[x] =4时, 代入原方程:4- 4{x}=3, 解得： {x}=0.25； 所以x= [x] + {x}=4+0.25=4.25 (3)、当[x] =5,代入原方程: 5- 4{x}=3, 解得： {x}=0.5； 所以x= [x] + {x}=5+0.5=5. 5 (4)、当[x] =6时,代入原方程得: 6- 4{x}=3, 解得： {x}=0.75； 所以x= [x] + {x}=6+0.75=6.75 综上所述， 方程[x]-4{x}=3 的解有四个， 分别为：x=3, 4.25, 5. 5, 6.75。 例2、符号[X]表示不超过X的最大整数.{X}表示X的正的小数部分,求方程2[X]+5{X}+3=0的解 。 解： 由2[X]+5{X}+3=0得：{X}=(-3-2 [X]) ÷5 因为0≤{x}1 所以0≤ (-3-2 [X]) ÷5 ＜1 解以上关于[X]的不等式得：-1.5≥ [X] ＞-4 故[X]=-2, -3。 (1)、当[X] =-2时， 由{X}=(-3-2 [X]) ÷5得：{X}=0.2 所以X= [x] + ｛χ｝=-2+0.2=-1.8 (2)、当[X] =-3时， 由{X}=(-3-2 [X]) ÷5得：{X}=0.6 ; 所以X= [x] + ｛χ｝=-3+0.6=-2.4 综上所述，方程2[X]+5{X}+3=0的解有两个，分别是： X= -1.8, x=-2.4。 例3、符号[X]表示不超过X的最大整数.{X}表示X的正的小数部分,解方程[ ]=x – 3 。 解：令 =t ， 则：x=(4t+4) ÷3 把x=(4t+4) ÷3代入原方程得：[t]=(4t+4) ÷3-3 用t=[t]+{t}代入上式并整理得：{t}=(8-[t]) ÷4 因为0≤ {t} ＜1, 所以0≤ (5+[t]) ÷4 ＜1 解以上关于[t] 的不等式得: -1＞ [t] ≥-5 即: [t] =-2, -3, -4, -5. (1)当[t] =-2时, 由 [t]=(4t+4) ÷3-3得:t=-5/4. 把t=-5/4代入x=(4t+4) ÷3得:X=-5/3; (2)当[t] =-3时, 由 [t]=(4t+4) ÷3-3得; t=-5/2. 把t=-5/2代入x=(4t+4) ÷3得:X=-2; (3)当[t] =-4时, 由 [t]=(4t+4) ÷3-3得:t=-15/4. 把t=-15/4代入x=(4t+4) ÷3得:X=-11/3; (4)当[t] =-5时,由[t]=(4t+4) ÷3-3得: t=-5. 把t=-5代入x=(4t+4) ÷3得:X=-16/3。 综上所述, 原方程的解有4个, 分别是:x=-5/3, -2, -11/3, -16/3 。 例4、符号[X]表示不超过X的最大整数.{X}表示X的正的小数部分, 设x、y满足方程 则[x+y]=__________。 解：由(1)式得:y=2[x]+2; 由(2)式得：y=16-3[x-2] 所以， 2[x]+2 =16-3[x-2] 因为[x+n]=[x]+n, n为整数; 所以有: 2[x]+2 =16-3（[x]-2） 化简整理得：[x]=4. 把[x]=4代入y=2[x]+2得：y=10. 因此， [x+y]=[x]+[y]=4+10=14. 练习题 1、x+2{x}=3[x] 2、 2[X]=X+2{X} 3、方程[3