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波前法及matlab实现
有限元二维热传导波前法MATLAB程序
?
二维热传导有限元
使用高斯消去法解线性方程组的二维热传导有限元程序
波前法的基本概念与算法
使用波前法解线性方程组的二维热传导有限元程序
消元过程
波前法与高斯消去法的效率之比较
小结:波前法的过去、现在和未来
波前法是求解线性方程组的一种方法,广泛用于有限元程序。它最初由英国人(?)B.M. Irons于1970在“国际工程计算方法杂志”上发表。30多年来,波前法有了不少变种。本文所用算法,采于法国人Pascal JOLY所著《Mise en Oeuvre de la Méthode des Eléments Finis》。这本书是我1993年在比利时一家书店买的,书中有一节波前法,六页纸,解释了基本概念和算法,但没有程序,也没有细节讨论。我曾花了两个半天的时间,在网上寻找波前法程序,或更详细的资料,没有找到(需要花钱才能看的文献不算)。倒是看到不少中国人,也在寻找。一些人说,波前法程序太难懂了。?
通过自己编写程序,我同意这些人的说法,确实难。我还真很少编如此耗费脑力的程序。完工之后,我曾对朋友老王说,有了算法,编程序还这么难,当初想出算法的人,真是了不起。?
现将我对波前法的理解和编程体会解说如下,供感兴趣的网友参考,也为填补网络上波前法空白。
二维热传导有限元
波前法和有限元密不可分。因而,在编写波前法程序之前,必须有个有限元程序。为了简化问题,最好是能解算一个节点上只有一个自由度的问题的有限元程序,而且要尽可能地简单。我手边现有的有限元程序都不符合这个要求。就决定先开发一个解算二维热传导问题的MATLAB有限元程序。?
二维热传导问题的微分方程是
其中 T 是温度,Kx 和 Ky 分别是 x 和 y 方向上的热传导系数,q 是热源。?
对于这样的比较经典的二阶微分方程,如何导出有限元表达式??
这个问题,是有限元的首要问题!
我相信,许许多多学过有限元的人,甚至每天都在用有限元的人,并不真的十分明了。?
我自己曾经就是这样。在我于2005年3月到巴西教书之前,我搞过20年有限元,其中有六年,还是在比利时一个专门开发有限元程序的公司里度过的。但是,如果您那时问我,任给一个二阶偏微分方程,例如上述热传导方程,如何导出有限元表达?说老实话,不看书,我还真就不会!?
直到2006年,我教了一遍有限元后,才弄明白(惟教书才是最好的学习)。?
其实简单极了:只需将那二阶偏微分方程,乘上一个任意标量函数,然后在某个有限单元上积分。?
请看下列推导:
即
其中, Ωe 是单元面积;Φ 是任意标量函数。?
注意在以上积分中,温度要遭受二阶偏导,这很不好。有限元的精髓,在于通过分步积分,将其中一阶偏导转移到那个任意标量函数 Φ 上,这样就可降低一阶温度偏导,改善对它的苛刻待遇。这得用到您在高等数学最后一章里学过的散度定理(Theorem of divergence):?
其中,Г 是面积Ω的边界; (反)Δ 是梯度算子;F 和 G 是任意两个矢量函数。 ?
对于二维问题,上述散度定理可写为:
将此散度定理应用于(2)式中的第一项积分,令
得:
将此积分结果带入(3)式,得到热传导偏微分方程的弱化表达(weak form):
所谓“弱化”,是指对温度函数的可导阶数要求降低了。在原热传导偏微分方程(1)中,温度函数必须是二阶可偏导函数,而在弱化表达(6)中,温度函数只要一阶偏导就行了。?
有限单元法就是以偏微分方程的弱化表达式为出发点的。?
现在,到了说明那个任意标量函数,Φ,是何方神圣的时候了。?
有限单元法有各种各样的变种,而最常见的,应用最广泛的,是所谓迦辽金法(Galerkin),即将这个任意标量函数,等同于,有限元的插值函数。迦辽金法的优点是可以最终形成对称劲度矩阵,从而具有较好的数值稳定性。?
我们知道,在一个有限单元中,任意一点的值,例如温度,是用节点上的温度表达的。对于一个四节点双线性单元来说,设四个节点的温度分别是T1,T2,T3,T4,则单元内任意一点的温度 T 可表达为?
其中 Ψ1,Ψ2,Ψ3,Ψ4,为插值函数,也称为形函数,定义如下:
其中 ξ 和 η 称为形坐标,取值区间为 [-1,1]。?
基于式(7),对温度的偏导数可写为:
将此二偏导数代入弱化表达式(6),该式就转化为以节点温度为变量的代数方程:
到此,为得到原偏微分方程的有限元表达,我们只需将任意标量函数,Φ,依次取为四个插值函数,Ψ1-4,就得到四个代数方程:
?
注意到式(9)-(12)中下标的规律,我们可将这四个方程合并写成矩阵的形式:
使用下标表达,式(13)可进一步缩写为:
式中对应于下标 i = 1…4 的每一个值,下标 j 取遍1…4。?
式(14)就是热传导偏微分方程(1)的四节点双线性有限
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