第4章多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页).doc

第章 多自由度系统的数值计算方法§4.1 瑞利能量法§4.1.1 第一瑞利商 设一个自由度振动系统，其质量矩阵为、刚度矩阵为。多自由度系统的动能和势能一般表达式为 当系统作某一阶主振动时，设其解为 将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值和势能最大值分别为 根据机械能守恒定律，，即可求得 其中，称为第一瑞利商。当假设的位移幅值列向量取为系统的各阶主振型时，第一瑞利商就给出各阶固有频率的平方值，即 在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型，只能以假设的振型代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率的估计值。从理论上讲，可用式（4.1.4）近似求解各阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设，所以，该式一般只用来估算系统的基频。 §4.1.2 第二瑞利商 瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵建立的位移运动方程。这时自由振动方程 代入式（4.1.1），注意到、是对称矩阵，以及，则系统的势能为 由式（4.1.2）可得 将上式代入式（4.1.7），系统势能的最大值为 由可得 称为第二瑞利商。 可以证明，若所选假设振型很接近于第一阶主振型，则由第一瑞利商和第二瑞利商计算出的值确实接近于，而且比实际值稍大（所谓上限估计）。对于同一假设振型，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真实值，但其精确程度主要取决于假设振型接近于第一阶主振型的程度。 例4.1 在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。已知，。 图 4.1.1 【解】 系统的质量矩阵为 刚度矩阵为 柔度矩阵为 粗略地假设振型为，从而得 （1） （2） （3） 式（1）、（2）代入式（4.1.4）得 式（1）、（3）代入式（4.1.10）得 系统的第一阶固有频率的精确值为，显然第二瑞利商的结果较接近精确值，但误差还较大，这是因为假设振型与第一阶精确振型相差较远的缘故。 如果在图4.1.1的每一个质量上顺坐标方向分别作用一单位力，则以该静变形曲线作为假设振型，即取 则有 由式（4.1.4）得 由式（4.1.10）得 可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，则瑞利商结果愈接近于基频。 例4.2 如图4.1.2所示，已知梁的弯曲刚度为，不计其质量，，，求系统的第一阶固有频率。 图4.1.2 【解】 系统的质量矩阵为 柔度矩阵为 粗略地选取假设振型为 ，则 代入式（4.1.10）得 系统第一阶固有频率的精确值为。其误差约为1%。在系统柔度矩阵已知的情形下，若假设振型用，则计算精度还可提高。 §4.2 邓克莱法Dunkerley)法又称迹法。前述的瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估计值，而邓克莱法则给出了系统最低阶固有频率的下限估计值。 如前所述，自由度系统的位移方程： 设其解为 代入式（4.2.1），并以除全式得主振型方程 其特征方程为 当系统的质量矩阵为对角矩阵时，可展开为 由代数方程理论（多项式根与系数之间的关系）可知，上式中项的系数变号后等于的n个根之和，即 对等式（4.2.3）作如下处理： 等式左边，由于，即，故近似地只保留一项。 等式右边，令 称为动力矩阵（dynamic matrix），则式（4.2.3）右边为动力矩阵的迹，记为。因为是第个质量处作用单位力时系统在该处的柔度系数。设想系统只有一个质量存在，则系统成为单自由度系统，这时系统的刚度，固有频率为 ， 即，于是有 综上所述，式（4.2.3）可写为 即系统的最低阶固有频率平方值的倒数，近似等于各质量单独存在时固有频率平方值的倒数之和。由于式（4.2.3）的左边舍去了一些正数值，从而所得的值比真值小。式（4.2.6）称为邓克莱公式，计算出的结果为最低阶固有频率的下限估值。由于等式右边为动力矩阵的迹，故邓克莱法又称为迹法，它只适用于为对角矩阵的系统。 邓克莱法在准确度上一般不如瑞利能量法，但由于它的计算较简单，且易考虑各质量或刚度的变化对最低阶固有频率的影响，故工程上仍经常应用它。 例4.3 用邓克莱法计算例4.1中系统的基频。 【解】 由例4.1可知，系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为 ， 动力矩阵为 其迹为 由式（4.2.5）得系统的基频为 ， 上述结果与精确值相比误差较大，大约为8.08％。 例4.4 已知一均质悬臂梁如图4.2.1所示，式中为抗弯刚度，为梁的总质量，为梁长，其第一阶固有频率的平方。若在梁的自由端放置一激振器质量为，设激振器质量与梁的质量之比，试用邓克莱法估算系统的基频值，并说明激