第5章弹性体振动分析(48页).doc

第5章 弹性体振动Hooke）定律。由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。 §5.1 弦的横向振动 理想振动弦string）是最简单的弹性体之一。所谓理想振动弦，是指它具有一定的长度、弹性，并以一定方式张紧的均匀细线，依靠张力作为弹性恢复力。.1.1 所示为一根两端固定、用张力拉紧的弦。在静止状态下弦处于平衡位置，假定某时刻有一瞬时的外力干扰作用于弦，于是弦的各部分就在张力作用下开始垂直于弦长方向振动，而振动传播方向是沿着弦长方向，因此弦振动方式称为横振动。 图5.1.1 理想弦示意图 图5.1.2 弦微段受力分析 现以弦的横向振动为例，说明连续系统振动方程的建立和方程的求解方法。 设弦的横向变形既是空间变量的函数，又是时间的函数，即 ?如图 1.2 所示，处取一微元的隔离体。若横向变形是微变形，由变形所引起的张力的变化可忽略。并假设变形与都很小。根据牛顿第二定律，弦的横向振动微分方程为 将代入上式，则横向振动微分方程可简化为 式中，,为弦的单位长度质量。 考虑边界条件有 初始条件有处的初始位移 ，初始速度 对于式(5.1.3)描述的弦横向振动微分方程，考虑系统具有与时间无关的阵型，即我们可以采用分离变量的方法求解，则设方程(5.1.3)的解为 式中，为阵型函数，表征整个弦的振动形态；为时间函数，表征弦上点的振动规律。将（5.1.6）代入(5.1.3)可得 上式的左边只与有关，右边只与有关，而和都是独立变量，因此上式必然等于一个与和都无关的常数，不妨令这个常数为，代入 () 式就得到两个独立的方程 式（5.1.8）和式（5.1.9）的解分别为 其中系数、、为待定系数(5.1.11) 式称为振型函数，它描绘了弦以固有频率作简谐振动时的振动形态，即主振型。根据以上两式得到方程() 的解的一般形式为 其中系数和常数仍为待定参数，分别由边界条件和初始条件确定。对于两端固定的弦，固定端的位移为 由此可得 根据弦振动的物理意义，若，则意味着弦不振动。因此必有 即 式(5.1.14)为弦振动的特征方程，也称为频率方程。从频率方程中可以求解出弦振动的各阶固有频率 显然，弦的固有频率只与弦本身的力学参量有关弦的固有频率有无穷个。由于弦的固有频率是以1倍、2倍、 3 倍…的关系离散变化的，因此我们将第一阶频率为弦的基频，而其它各阶固有频率称为谐频。由于弦的固有频率都为谐频，因此弦器将每一个固有频率代入式，就得到三角函数形式的各阶主振型 其中由初始条件确定。上式表明：当弦作基频振动时，在弦的两端振幅为零，而在处振幅最大，我们将振幅为零的位置称为波节而将振幅最大的位置称为波腹对于二阶振型，对应地出现个波节和个波腹，以此类推，n 阶振型对应地出现 n+1 个波节和 n 个波腹。弦振动的前阶振型参见图 。由于弦的每一阶振型对应的波节和波腹的位置是固定的，因此将图由三角函数族的正交性证明弦振动不同主振型之间具有正交性，即对于两个主振型和之间满足关系 由（5.1.15）可知，连续系统有无穷阶固有频率，所以又称其为无穷自由度系统。由于系统是线性的，其通解为所有主模态的叠加，即 式中，由初始条件确定。 现在来考虑初始条件对弦振动的影响。不失一般性，我们假设初始时刻弦的位移和速度分别为和，它们均为的函数。将初始条件代入）式得到 利用弦的主振型的正交性，对上两式等号两边分别乘以，并从到积分，得到 由此可以确定和，则弦的振动位移就可以完全确定。§5.2 杆的纵向振动 §5.2.1 杆的自由振动 1.等直杆的纵向振动微分方程 如图5.2.1所示，一根理想弹性体的细直杆（bar）做纵向振动，假设杆的横截面在振动过程中仍然保持为平面，并不计杆的横向变形。 (a) 直杆结构受力图 (b)微单元受力图 图5.2.1 等直杆的纵向振动示意图 设杆的长度为，单位体积质量为，横截面积为，材料的弹性模量为，杆在纵向分布力作用下作纵向振动，以杆的纵轴为轴，在杆上处取一微元段，且其左端的纵向位移为，则右端的处的纵向位移为，所以段的变形为，可得处的应变为 而应力为 式中为处杆的内力，则 由微元段段的受力图（图5.2.1，b）可知，根据牛顿第二定律可得 即 对于为定值的的定常连续等直杆，上式可简化为 通常定义，为弹性纵波在杆内纵向传播的速度。 上式变为 式（5.2.5），便得等直杆纵向自由振动方程 2.固有频率和主振型