第6章量子统计与量子气体.PDF

第6章 量子统计与量子气体 学习 目标与要求 1. 了解量子统计发挥作用的物理条件 。 2. 掌握玻 色统计 、费米统计的分布函数 。 3. 熟悉玻 色气体 、费米气体的一般热力学性质 。 4. 掌握强简并、弱简并气体的概念 以及它们在解释宏观物性时的基本应用。 在描写宏观系统的微观状态时，有两种不 同的选择，即经典描述和量子描述 。在前文 中已经提到过，当 （1）微观粒子的德布罗意波长 远远小于其运动范围的空间尺度 L 时， 或者：（2 ）当粒子的作用量 A 远远大于普 朗克常数时，微观状态可 以采用经典描述 。这是 因为满足条件 （1）时，粒子波函数的宽度可 以被忽略，近似当作点粒子处理；另一方面， 当满足条件 （2 ）时，量子力学的路径积分中只有作用量取极小值 的路径 的贡献最为显著， 而这个路径正好就是经典路径 。 除了可 以用经典和量子两种方式描述微观状态 以外，统计方法本身也可 以分为经典和 量子统计，并且这种划分与微观态是用经典还是量子方法描述没有关系。换言之，对于用 经典方法描述微观态 的系统，适用 的统计方法既可能是经典的，也可能是量子的。对于用 量子方法描述微观态的系统，适用的统计方法 同样既可 以是经典的，也可 以是量子的。 用来区别经典和量子微观态 的判据是微观粒子的运动方程 。凡微观粒子的运动 由哈密 顿方程决定的情况均为经典描述，凡微观粒子的运动 由薛定谔方程决定的情况均属量子描 述 。而用来区别经典统计和量子统计 的判据则是是否考虑粒子的 自旋 。在对微观态进行求 和 时，若忽略粒子 的 自旋特征，则为经典统计 ；若不忽略粒子 的 自旋特征，则为量子统 计 。 能够使得 自旋 自由度产生可观测 的宏观效应也需要一定的条件 。当宏观系统中的微观 粒子分布 比较稀薄时，系统的绝大多数微观态实际上都没有粒子去占据，这时考虑微观粒 子的 自旋是没有意义的，因此这种情况适合经典统计 。如果需要考察粒子数按微观态能量 的分布情况，相应的分布就是玻尔兹曼分布 。相反地，若系统中微观粒子分布得 比较稠密， 就会 比较多地遇到不 同的粒子 “试 图”抢 占相 同的微观态 的情况，而这时粒子的 自旋属性 6.1 玻色—爱因斯坦分布与费米—狄拉克分布 139 将发挥重要 的作用 ：对于玻色粒子来说，多个粒子 占据相 同的微观态并无任何 限制，而对 于费米粒子来说，由于存在泡利排斥，每个微观态最多只能容纳一个费米子 。 微观粒子数是否稠密可 以用粒子间的平均距离 d 与粒子的德布罗意波长 之间的相对 大小来表征。若 d ，就可 以说粒子是稀薄的，而当 d ⇠ 时，粒子就是稠密 的。显 然，当粒子分布稠密时，不 同粒子的波函数交叠部分 比较大，这样 的系统称为简并的。而 当粒子分布稀薄时，不 同粒子的波函数交叠可 以忽略，这样 的系统称为非简并的。非简并 系统适用经典统计，相应 的粒子数分布是玻尔兹曼分布 ；而简并系统则适用量子统计，相 1 应 的粒子数分布有两类 ，分别称为玻 色—爱因斯坦分布和 费米—狄拉克分布 。本章 的任 务就是介绍玻色—爱因斯坦分布和费米—狄拉克分布，并用它们来分析和解决一些用玻尔 兹曼分布无法解释 的简并量子气体的性质 。 § 6.1 玻色—爱因斯坦分布与费米—狄拉克分布 在§3.4节 中，我们在系统 中微观粒子分布稀薄的前提下，将系统 中每个能级上 的粒子 当作一个统计独立子系并给出了各子系所对应的巨势的表达式(3.38)： 1 ⌦ = k T log X eNk (µ✏k )/k0T . (3.38) k 0 Nk =0 如果我们处理 的是粒子数稠密 的系统， 由于粒子 间的相互作用 随距离接近而逐渐增 强，通常并不能将每个能级上 的粒子的集合当作一个统计独立子系来看待 。不过，有一种 特殊情况可