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第一章弹性力学基本方程和岩石力学介绍
第二章 弹性力学的基本原理
2.1.1应力与应力张量
应力被定义为:用假想截面将物体截开,在截面上一点P的周围取一微元, 设的外法线为ν, 上的力为,如极限存在,则称为P点在该截面上的应力矢量。考察三个面为与坐标面平行的截面(即以三个坐标轴为法线的三个截面), 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量,有
(i,j=1,2,3) (2.1)
这里的张量运算形式满足“求和约定”,即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时,则理解为对所有同类求和,即应理解为。这样的求和指标j称之为假指标或哑指标。由此得到九个应力分量表示一点的应力状态,这九个分量组成应力张量:
或 (2.2)
在本书第一章致第九章,应力分量符号(正负号)规定如下:对于正应力,我们规定张应力为正,压应力为负。对于剪应力,如果截面外法向与坐标轴的正方向一致,则沿坐标轴正方向的剪应力为正,反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反,则沿坐标轴正方向的剪应力为负。
2.1.2 柯西(Cauchy)方程
记为过P点的外法向为n的斜截面。外法线n的方向可由其方向余弦记为 , 。
设此斜截面的面积为S, 则如图2.1, 过此点所取的小四面体另外三个面为与坐标面平行的截面(即以三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为
(2.3)
此截面上的应力矢量记为, 即
(2.4)
另外三个面上的应力矢量分别为, , 。
考虑此微元(四面体的平衡,其平衡方程为
(2.5)
其中f为作用于此单元上的体力,h为O点至截面ABC的垂直距离,为此微元的体积。当此四面体微元无限缩小时, 上式中最后一项为更高阶的无穷小量,可略去不计,从而得
(2.6)
将(2.1)代入, 就得到
(2.7)
与(2.4)比较就得到的坐标分量与应力分量间的关系为:
(2.8)
这就是柯西(Cauchy)公式,写成矩阵形式就是
或 (2.9)
斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为
(2.10)
或将写成l, m, n,
(2.11)
切线方向上的分量(剪应力)
(2.12)
2.1.3 坐标变换
建立新的正交坐标系, , , 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面, 新坐标轴, , 与原坐标轴, , 之间的夹角余弦如下表示:
则上面的应力矢量成为将应力分量从原坐标系变换到新坐标系,(2.10)成为
(2.13)
同理
(2.14)
一般地,有
(2.15)
上式为应力张量坐标变换式, 用矩阵表示为
(2.16)
上式用在具体计算时比较方便。在理论推导中,用应力张量的变换符号表示比较方便:
其中为新坐标中xi’与旧坐标中xi之间夹角的方向余弦。
剪应力互等定理:
设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx1、dx2、dx3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。因而得
(2.17)
这就是剪应力互等定理。它表明,应力张量是对称张量。
2.1.4 主应力与应力张量不变量
如果在某一截面上剪应力为零,则该截面的法向称为主方向,相应的截面称为主平面。主平面的正应力为主应力。设方向n为主方向,其方向余弦为, 此面上的主应力为, 则
(2.18)
将上式代入柯西公式(2.7), 得
(2.20)
上式写成张量形式就是:
(2.21)
其中为克罗耐克尔(Kroneker)符号:
因为不能同时为零,所以(2.20)的系数行列式必须为零。得
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