第三章量子统计理论第一节从经典统计到量子统计量子力学对经典.DOC

第三章 量子统计理论 从经典统计到量子统计 量子力学对经典力学的改正 波函数代表状态 (来自实验观测) 能量和其他物理量的不连续性 （来自Schroedinger方程的特征） 测不准关系 （来自物理量的算符表示和对易关系） 全同粒子不可区分 （来自状态的波函数描述） 泡利不相容原理 （来自对易关系） 正则系综 不是系统处在某个的概率，而是处于某个量子态的概率，例如能量的本征态。 配分函数 为第n个量子态的能量，对所有量子态求和 （不是对能级求和）。 平均值 量子力学的平均值 密度矩阵 量子力学 波函数 归一化 平均值 统计物理 系综理论：存在多个遵从正则分布的体系 ∴ 假设系综的各个体系独立， 理解：是对所有状态平均，假设每个状态出现的概率为 ，对固定m，－和以相同概率出现，所以 如果选取能量表象，假设按正则分布，重新记为 这里 引入密度矩阵算符 显然 ， ∴ 归一化条件 一般地 这样，计算可以在任何表象进行 微正则系综 ( ? E) 巨正则系综 n 为N固定的量子态 玻色－爱因斯坦分布(BE)和费米－狄拉克分布（FD） 体系：N个独立的全同粒子，N可变 单粒子能级 巨正则分布 量子态：粒子按单粒子量子态的分布 注意：i 不是粒子的指标，而是态的指标 N可变的分布 这里 i 记单粒子态 例：单粒子两能级系统，玻色子，没简并 计算平均粒子数 ∴ 玻色－爱因斯坦情形 ∴ 费米－狄拉克情形 只能取0，1两个值 若第个能级有个简并量子态，则共有粒子 ， 平均粒子数若足够大，涨落相对可忽略，N可认为常数。 理想玻色气体和Bose-Einstein凝聚 由于泡利不相容原理，玻色和费米气体低温下差别较大 玻色气体的性质 1、 选 ，由 (这里是与能量零点有关) 2、BE凝聚 单分子气体， 分析表明 ， 为自旋简并度 ∴ 设，不断降温，为保证对的积分为常数， 必须增加（即趋向于零） 当 称之为凝结温度 为自旋 如果进一步降温，使 ，似乎出现矛盾，因为 不能再增加，但 又要保持为常数。 问题产生于 这一过程近似略去了的贡献，而当 的粒子贡献极大。 ( ∴ (*)只计算了的粒子数 ( 当 ,这并不奇怪 ( 当 , ( 是个大数 这现象称之为BE凝聚，是动量空间的凝聚。 讨论 显然，Fermi体系不会凝聚，因为Pauli原理。 对理想或排斥势的玻色体系，会发生凝聚但对吸引势的玻色体系，则不会发生凝聚，因为应为，但吸引势体系无法保证这点。 凝聚是一种相变，像是二级相变，因为 是幂次行为 理想费米气体和费米球 假设 1、 粒子的排列遵从 ∴ 粒子按能级从低到高，每个能级两个自旋取向排列。 设最高能量为,对应动量大小。在动量空间看，费米子的等能面为球面。时，全部费米子处于半径为球内，这球称费米球。 用周期边界对自由粒子求解Shroedinger方程 ∴ 量子态求和 考虑到简并，在动量的量子态数目为 ∴ 称费米能量，对应的等能面称费米面 讨论 设 这表明是个阶梯函数 思考题： 的物理意义 时的能量 ∴ 单粒子平均能量 当,对费米气体，粒子仍然运动，例如，对电子气，这种运动产生的压强 ( 个大气压。 2、 但????? 是从量子气体转变为经典气体的温度。 ???? 表明量子效应显著。 热运动能量的数量级为,它使费米面变厚， 厚度 ( 。 选为独立变数，巨正则系综的特性函数是热力热 ∴ 分部积分 是典型的费米积分 当T 小 时 ,可以作低温展开,对， 练习：试计算I的一级近似。 (T=0, ; T0, …) ∴ 平均粒子数 假设 费米体系的粒子数不随温度而变 ∴ （练习：试推导） 内能 （由上面得到的表达式） 定容热容量 称费米温度 能斯脱定理和绝对熵 热力学第二定律和热力学基本方程只定义了两