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第二讲排列组合
第二讲 排列组合
2.1 加法法则与乘法法则
2.2 排列与组合
2.3 圆排列
2.4 有重复的排列与组合
2.1 加法法则与乘法法则
[加法法则]设事件A有m种产生方式,
事件B有n种产生方式,则事件A或B共
有m+n种产生方式。
用集合论语言,我们有:
定理 1 设A,B为不交的有限集,则
|A∪B|=|A|+|B| 。
定理1可推广到有限个有限集的情形。
2.1 加法法则与乘法法则
例1:在所有六位二进制数中,至少有连续4位是1的有多
少个?
解:所有满足要求的二进制数分成如下3类:
(1)恰有4位连续的1.它们可能是*01111,011110,
11110*,其中“*”可能取0或1。故在此情况下,共有5
个不同的六位二进制数。
(2 )恰有5位连续的1。它们可能是011111,111110,共
有2个。
(3 )恰有6位连续的1,即111111,共有1种可能。
(4 )综合以上分析,由加法原理知共有5+2+1=8个满足
题意要求的六位二进制数。
2.1 加法法则与乘法法则
[乘法法则]设事件A有m种产生式,事件B有n
种产生方式,则事件选取A后再选B共有m×n
种产生方式。
用集合论语言,我们有:
定理 2 设A,B为两个有限集,则
|A×B|=|A|×|B| 。
定理2也可推广到有限个有限集的情形。
2.1 加法法则与乘法法则
例2:在1000到9999之间有多少个各位数字不同
的奇数。
解:
方法1:第4位必须是奇数,有5种选择。一旦选定
,第1位不能取0,有8种选择。第2位不能取第1和
第4位有8种选择。第3位剩下7种选择。因此共有
5×8×8×7=2240个。
2.1 加法法则与乘法法则
方法2:把满足题意的数分成两类:
第一类:四位数中没有0出现的。
类似方法1的分析,有5×8×7×6=1680个。
第二类:四位数中有0出现。
则0或出现在第2位或第3位,有2×8×7×5=560
个。由加法原理,满足题意的数共有1680+560=
2240个。
2.1 加法法则与乘法法则
练习:1)求小于10000的含1的正整数的个数;
2)求小于10000的含0的正整数的个数。
解:
1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数,
但0000除外.
故有9×9×9×9-1=6560个。
因此含1的有9999-6560=3439个。
2.1 加法法则与乘法法则
2)“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的
规定,要特别留神。
2
不含0的1位数有9个,2位数有9 个,
3 4
3位数有9 个,4位数有9 个 。
2.1 加法法则与乘法法则
不含0小于10000的正整数有
2 3 4 5
9+9 +9 +9 =(9 -1)/(9-1)=7380个。
因此,含0小于10000的正整数有
9999-7380=2619个。
作业1:求能整除1400的正整数的数目。
3 2
提示:(1400=2 5 7。)
2.2排列与组合
大量的计数问题呈现如下的类型:
(1)对元素的有序的摆放数或有序的选择数进行计
数,分两类:
a) 没有重复元素。
b) 允许元素重复。
(2)对元素的无序的摆放数或无序的选择数进行计
数,也分两类:
a) 没有重复元素。
b) 允许元素重复。
2.2排列与组合
定义 1
从n个不同的元素中,取r个不重复
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