42常系数线性方程的解法.DOC

§4.2 常系数线性方程的解法 讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解 如果对于区间中的每一实数，有复数与它对应，其中和是区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数。如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并且定义 如果，我们就称在连续。显然，在连续相当于、在连续。当在区间上每一点都连续时，就称在区间上连续。如果极限存在，就称在有导数（可微）。且记此极限为或者。显然在处有导数相当于、在处有导数，且 如果在区间上每点都有导数，就称在区间上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。 设是定义在上的可微函数，是复值常数，容易验证下列等式成立： 在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。 设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义 有上述定义立即推得 并且用表示复数的共轭复数。 此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质： ，其中为实变量 由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似，而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质。 现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间上的实变量复值函数称为方程（4.1）的复值解，如果 对于恒成立。 定理8 如果方程（4.2）中所有系数都是实值函数，而是方程的复值解，则的实部、虚部和共轭复值函数也都是方程（4.2）的解。 定理9 若方程有复值解，这里及，都是实函数，那么这个解的实部和虚部分别是方程 和 的解。 4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 为了书写上的方便引入下述符号： 并把称为线性微分算子.把算子作用于函数上时，就是指对施加上式右端的微分运算. 关于算子有以下两个性质： 1)常数因子可以提到算子符号外面： 证明：实际上 = = = 2)算子作用于两个函数和的结果等于算子分别作用于各个函数的结果之和： 证明： =+ = 设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状 （4.19） 其中为常数,称（4.19）为阶常系数齐线性方程。它的求解问题可以归结为代数方程求根问题，现在就来具体讨论方程（4.19）的解法。按照§4.1的一般理论，为了求方程（4.19）的通解，只需求出它的基本解组。下面介绍求（4.19）的基本解组的欧拉（Euler）待定指数函数法。 回顾一阶常系数齐线性方程 我们知道它有形如的解，且它的通解就是。这启示我们对于方程（4.19）也去试求指数函数形式的解 （4.20） 其中是待定常数，可以是实的，也可以是复的。 注意到 其中是的次多项式。易知，（4.20）为方程（4.19）的解的充要条件是：是代数方程 （4.21） 的根。因此，方程（4.21）将起着预示方程（4.19）的解的特性的作用，我们称它为方程（4.19）的特征方程，它的根就称为特征根。下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。 1）特征根是单根的情形 设是特征方程（4.21）的个彼此不相等的根，则相应地方程（4.19）有如下个解： （4.22） 我们指出这个解在区间上线性无关，从而组成方程的基本解组。事实上，这时 = 由于假设（当）。故此行列式不等于零，从而，于是解组（4.22）线性无关， 如果均为实数，则（4.22）是方程（4.19）的个线性无关的实值解，而方程（4.19）的通解可表示为 其中为任意常数。 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭地出现。设是一特征根，则也是特征根，因而与这对共轭复根对应的，方程（4.19）有两个复值解 根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，我们可求得方程（4.19）的两个实值解： 2）特征根有重根的情形 设特征方程有重根，则如所周知 先设，即特征方程有因子，于是 也就是特征方程的形状为 而对应的方程（4.19）变为 易见它有个解，而且它们是线性无