51指数函数.PPT

Example Find the derivative of f (x) = ln 2x Solution: 例題 求f(x) = ln(2x2+4) 的導函數 例題 求 的導函數 例題 求f(x) = ln[x(x2+1) 2] 的導函數 例題 求f(x) = x(x2+1) 2 的導函數 練習 求 的導函數 例題 求f(x) = x3x 的導函數 例題 某一城鎮在一開發案完成後人口數為 求開發案完成後6個月時的相對人口成長率。 解: 相對人口成長率為P’(t)/P(t)。 ln P(t) = ln18000 – (ln9)e-0.1t 所求為 (0.1)(ln9)e-(0.1)(6) ? 0.121 即以6個月時的相對人口成長率約為12.1%。 對數函數的微分 習題 5.5 2,4,5,7,9,10,11,15,17,18,20,22,27,34 5.6? 以指數函數來建立數學模型 例題 求Q(t) = Q0ekt 的導函數，其中Q0與k為正實數常數且t?[0,?)。 指數成長 指數成長(exponential growth): 假設Q(t) = Q0ekt ，其中Q0與k皆為正實數，此時Q’(t)= kQ0ekt = kQ(t)。 變化率Q’(t)隨著Q(t)增加而增加，也就是說Q(t)遞增的速度會會隨著t的增大而越來越快。 我們稱Q(t)呈指數式成長， k稱為成長常數(growth constant)。 例題 在培養皿中的細胞數量為Q(t) = Q0ekt ,初始時細胞數 Q0= 10000 ，2小時候細胞數變為60000。則4小時後細胞數為多少?成長率為何? Solution: 2小時候變為60000,所以 4小時後細胞數為Q(4) =10000 e4k =10000(e2k)2 =360,000。 成長率為Q’(4) =k? Q(4) ? 322,500 。 指數衰退 指數衰退(exponential decay): 假設Q(t) = Q0e-kt ，其中Q0與k皆為正實數，此時Q’(t)= -kQ0e-kt = - kQ(t)。 隨著t的增大，Q(t)會越接近0。 變化率Q’(t)隨著量Q(t)的減少而趨緩。 我們稱Q(t)呈指數式衰減， k稱為衰減常數(decay constant)。 half-life(半衰期) 放射性物質在時間t的量為Q(t) = Q0e-kt 。呈指數衰退。 若此物質經過n年後只剩下原來一半的量。則稱此物質的半衰期為n年。 例題 一放射性元素的半衰期為1600年。若一開始此物質的量為200克，則此物質t年後與800年後剩餘的量分別為何? Solution: 令A(t)為此元素之剩餘量,得A(t) = 200e-kt 半衰期為1600年,所以100 = 200e-1600k -1600k = ln(1/2) k =(-1/1600)ln(1/2)?0.0004332 此物質t年後剩餘量A(t) = 200e-0.0004332t 此物質800年後剩餘量A(800) = 200e-0.0004332(800) ?141.42 例題 碳14的半衰期為5730年，期衰減常數為何？ Solution: 令A(t)為此元素之剩餘量,得A(t) = A0e-kt 半衰期為5730年,所以1/2 = e-5730k -5730k = ln(1/2) k =(-1/5730)ln(1/2)?0.000121 例題 若一化石的碳14含量只剩下十分之一，則此化石的年代為何？ Solution: 承前題知A(t) = A0e-kt= A0e-0.000121t 碳14含量只剩下十分之一,所以 (1/10) A0 = A0e-0.000121t e-0.000121t = 1/10 -0.000121t = ln(1/10) t =(-1/0.000121)ln(1/10) ? 19,030 學習曲線 新事物的學習總是比較快速，當達到一定程度後孰