α的置信区间.PPT

概率统计与随机过程 宋 晖 – 2013年秋 第二章 样本估计 统计基础 区间估计 单样本：估计均值 预测区间 两样本：估计均值差 区间估计（interval estimation） 引入 点估计方法简单，意义明确，但无法判断估计结果的稳定性、估计值因样本不同产生误差 考虑寻找参数存在的范围，以及落入该范围的概率 根据样本数据，求得两个数值，构成一个置信区间（confidence interval，C. I.），给出参数的可能范围。 估计大学生平均每月可用零用钱为1000元，该估计为单一数值，是点估计；若估计大学生平均每月可用零用钱介於600~2000元，为区间估计。 关系 置信区间估计量基于点估计 随着样本容量增大，σ2/n随之减少，估计区间变小 则称随机区间 为θ 的置信水平为1- α 的置信区间, 分别称为置信下限和置信上限。 定义：设总体 使得 有 若存在两个统计量 置信水平也称为置信度, 通常α较小，1-α较大 连续型总体,则取 离散型总体,则取 尽可能接近1-α 例1 ：假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布，7个容器中的容量分别为 ：9.8，10.2，10.4，9.8，10.0，10.2和9.6L。求所有容器均值的95%的置信区间。 问题分析： 样本 {xi}~ N(μ, σ2) 根据抽样数据，可得： 1）样本均值 2）标准差 求解： 估计均值的置信区间 单样本：估计均值 样本均值符合正态分布 ~ N(μ, σ2/n) 存在历史经验参数 σ 没有经验参数，σ未知？ 故对于给定的置信水平 1-α， 查表可求得 Z α/2 使得 等价地有： μ的样本均值为 ，根据Lindeberg-Levy定理 样本均值估计，σ = σ0已知 1- α Z1- α /2 1- α 于是 μ 的置信水平为0.95 的一个置信区间为 例如： σ0 =1, 则 未知参数μ 的置信水平为1-α 的置信区间 给出了μ 的点估计 给出了μ 所在的一个范围 ， 都可以作为μ 的点估计 其估计误差: 以上分析的可信度为95%, 即若反复抽样100 次，则包含真值μ的区间 约有95 个，不包含μ的区间大约只有 5 个. 置信度1- α 的实际含意是什么? 是否一定包含真值μ? 样本均值估计, σ未知 对给定的置信水平1-α，可求得 ，使得 μ, σ2的无偏估计分别为 ，那么 1- α -tα/2 tα/2 等价地有 故μ的置信水平为1-α 的置信区间为 均值μ的置信水平为1-α 的置信区间 例1 –解答：假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布，7个容器中的容量分别为 ：9.8，10.2，10.4，9.8，10.0，10.2和9.6L。求所有容器均值的95%的置信区间。 解：根据抽样数据，样本均值和标准差分别为10.0和0.283. 共有7个样本，自由度 n = 6，α =0.05 查表可得 t = 2.447。由此，μ的95%的置信区间为： 即：9.47 μ 10.26 单边置信 对于给定的置信水平 1-α，查表可求得 Z α 使得 单边上界： 单边下界： 某些应用中，只需要考虑单边界， 如： 网络传输允许的最大丢包率 硬盘的寿命下限 预测区间 给出新样本可能出现的数据范围，以及置信度 利用估测样本预测新样本的观测值 例2：Citizen银行收到抵押申请，必威体育精装版50个申请样本中，平均值为257 300美元，假设总体标准差为25 000美元，那么置信度为95%时下一名顾客借贷金额？ 问题分析： 样本 {xi} ~ N(μ, σ2) 根据抽样数据，可得：样本均值、标准差 求解： 预测值的置信区间 预测值的分布 假设：新观测值为X0，随机误差的方差为σ2 ，所有样本都来自于正态分布总体。 构造统计量： Y ~ N(0,1)，利用统计量Y 的概率分布可以计算： 例2-解答：Citizen银行收到抵押申请，必威体育精装版50个申请样本中，平均值为257 300美元，假设总体标准差为25 000美元，那么置信度为95%时下一名顾客借贷金额？ 解：总体方差为25,000，样本值为257,300。 y0.025=1.96 即：207 812.43 x0 306787.57 预测区间计算，σ 未知：对于未知均值μ 、方差σ2未知的正态抽样分布，新观测值x0置信度为1- α的预测区间为： 例3：随机检验30包瘦牛肉，样本结果的均值为瘦肉含量96.2%，标准差为0.8%，就一个