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加速运动粘弹性带的三维非线性动力学行为
加速运动粘弹性带的三维非线性动力学行为
刘彦琦 张伟 张红星onlinear vibrations of an axially accelerating viscoelastic belt in three-dimensional space are investigated. The nonlinear governing equations of motion for an axially accelerating viscoelastic belt for the in-plane and out-of-plane are derived by using Hamilton’s principle. The method of multiple scales and the Galerkin’s approach are applied directly to the partial differential governing equations of motion to obtain four-dimensional averaged equation under the case of 1:2 internal resonance and primary parametric resonance of the first order modes. The results of numerical simulation demonstrate that there exist the quasi-periodic and chaotic motions of an axially accelerating viscoelastic belt.
[key words] viscoelastic belt; nonlinear; vibration
引言
动力传动带是种常见的工程元件,忽略其弯曲刚度可以模型化为轴向运动弦线进行研究。其动力学问题引起了国内外学者的极大关注。Chen[1]综述了近年的研究情况。
Miranker[2]考虑了轴向速度变化的情况,并建立了变速运动弦线的动力学方程。但没有进行分析研究、求解。Mote[3]首先分析了速度变化对振动稳定性的影响。Pakdemirli和Batan[4]对轴向匀加速运动弦线的动力学稳定性进行了分析。Pakdemirli等[5]建立了轴向速度周期变化时弦线的振动动力学方程,采用Glalerkin方法将偏微分方程截断为常微分方程,然后分析了系统的稳定性。Wickert[6]研究了变速度的参数振动。Pakdemirli和Ulsoy [7]研究了轴向速度为在固定值上附加小周期性涨落情形运动弦线的参数振动。Wu和Chen[8]与Chen和Zu等[9]研究了轴向速度为在固定值上附加小周期性涨落情形运动弦线的参数振动,得到了稳态响应和主共振时的响应。Huang等[10]研究了轴向运动弹性弦线三维非线性振动由于轴向张力周期涨落导致参数振动的稳定性,并得到非共振和组合共振时不稳定条件。本文研究了加速运动带在1:2内共振时的横向非线性动力学行为,并对其进行了数值模拟。
动力学方程
在传动带系统的研究中,首先需要立其动力学模型。具体模型如图1
在分析过程中,采用固定的直角坐标系描述。其中, 分别为带上任意一点在方向的位移,两个简支端之间的距离为,为传动带的轴向运动速度。
由于通常情况下粘弹性运动带主要发生横向振动,因此本文只考虑有横向振动的情形,同时考虑其大变形,应变具体表达为:
. (1)
在工程实际中,材料通常是粘弹性材料。微分型本构关系在粘弹性理论中广泛应用,这种应力应变关系的数学表述直接与力学模型(弹性元件和粘性元件)相联系,在求解某些问题时比较方便。具体表达式如下:
, (2)
这里是传动带的刚度常数,是动态粘性阻尼系数。
本文运用Hamilton原理建立了粘弹性加速运动带在三维空间的横向非线性动力学方程,方程如下:
, (3a)
. (3b)
其中为带的密度,为带的横截面,为外阻尼系数,为带的张力。
为便于研究,下面引入无量纲变量
, , , , , , , . (4)
将上述变换(4)代入方程(3),化简并去掉“*”,得到粘弹性传动带无量纲形式的非线性动力学方程:
, (5a)
. (5b)
由于考虑稳态速度有一个周期扰动的情况,即无量纲化后的速度可以表示为
. (6)
将方程(6)代入方程(5)得
, (7a)
. (7b)
并去掉高次幂项并引入小参数[1]
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