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三角形的格点
如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后,得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形中的格点.求解三角形中的格点问题,常可利用对称点.利用对称点求解三角形中的格点问题,方法简单易行,解法简洁巧妙,题面新颖有趣,是学生巩固知识,培养能力,陶冶情操,提高素质的宝贵资料.
1 证明对称点常用的方法
大家知道,把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点,这条直线叫做对称轴.
根据对称点的定义不难知道,欲证两点M、N关于线段PQ所在的直线对称,只要证明MPQ≌NPQ即可.不过,在证明对称时,只须摆明条件,而不必特别指明两个三角形的全等关系.
例1 在ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=20°,M为∠ACB的平分线上一点,∠MBC=20°.求∠MAB的度数.
解:如图1,设∠MBA的平分线交AC于D,连DM.
图 1
显然,BM平分∠DBC,而CM平分∠DCB,即M为△DBC的内心.可知∠MDB=∠MDC=60°.有∠ADB=60°=∠MDB.故点A与点M关于BD对称.
则∠MAB=90°-∠DBA=70°.
这里证得“点A与点M关于BD对称”是根据“角、边、角”.
例2 在△ABC中,∠ABC=∠ACB=40°,P为形内一点,∠PCA=∠PAC=20°.求∠PBC的度数.
解:如图2,以AC为一边在△ABC外作正△DAC.连DP.由∠PCA=∠PAC=20°,可知PA=PC.有点A与点C关于PD对称.得∠PDA= ∠ADC=30°.
由∠ACB=∠ABC=40°,可知AB=AC=AD.
易知∠PAD=80°=∠PAB,可知点B与点D关于PA对称.有∠PBA=∠PDA=30°.
则∠PBC=10°.
这里证出“点A与点C关于PD对称”是根据“边、边、边”,证出“点B与点D关于PA对称”是根据“边、角、边”.
综上可知,证明两个点关于某线段所在直线对称,是一件很容易做的事情.而且熟练以后,更可能节省些笔墨.明确了这一点,我们就要积极、主动地创造条件,注意利用对称点.
2 在哪些情况下应想到使用对称点
三角形中的格点问题,经常会给出或求证角平分线,这是使用对称点的最方便的条件,换言之,在题目给出或求证角平分线时,要想到使用对称点例3 在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=30°,P为∠ABC的平分线上一点,∠PCB=10°.求∠PAB的度数.
解:如图3,在BA延长线上取一点D,使BD=BC.连DP、DC.
由BP平分∠ABC,可知点D与点C关于BP对称.有PD=PC.
由∠DPC=2(∠PBC+∠PCB)=60°,可知△PCD为正三角形.有PC=DC.
在△ACD中,由∠ADC=70°=∠DAC,可知AC=DC.有AC=PC.
在△PCA中,由∠PCA=20°,可知∠PAC=80°.
则∠PAB=30°.
这里由BP平分∠ABC,想到在BA延长线上取一点D,使BD=BC,则点D为点C关于BP的对称点.这是取对称点的最简单、最基本的方法.
例4 在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=30°,Q为形内一点,∠QBA=∠QCA=20°.求∠QAB的度数.
解:如图4,设BQ交AC于D,过点D作BC的垂线交QC于E.连BE.
图 4
由∠QBC=30°=∠ACB,可知DE为BC的中垂线.由∠QCB=10°,可知∠EBC=10°,∠QBE=20°=∠QBA.
由∠EDB=60°=∠EDC,可知∠BDA=60°=∠BDE.有点A与点E关于BD对称.
则∠QAB=∠QEB =∠EBC+∠ECB=20°.
这里注意到BQ是∠AQC的平分线,故想到在QC上取点E,使∠EBQ=∠ABQ,则点E为点A关于BQ的对称点.为此想到满足条件的点E,恰为BC中垂线与QC的交点。又由∠QBC=30°=∠ACB,想到BQ与AC的交点D应为BC中垂线上的另一点.于是,我们选择了如上的方法找到点A关于BQ的对称点E.
例5在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=30°,Q为形内一点,∠QCA=∠QAB=20°.求∠QBC的度数.
解:如图5,设BC的中垂线分别交BA、AC于D、E,F为垂足.连QE、BE、DC.
图 5由∠ACD=20°=∠ACQ,∠DAC=80°=∠QAC,可知点D与点Q关于AC对称.有
∠AEQ=∠AED=∠FEC=60°.
由∠BEF=∠FEC=60°,可知∠AEB=60°=∠AEQ.有B、Q、E三点共线.
则∠QBC=∠EBC=30°.
这里注意到AC是△AQB的∠QAB的外角平分线(这一点并不引人注目),在BA延长线上取一点D,使DA=QA,则点D为点Q关于AC的对称点.为此我们通过BC的中
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