三角形的格点.doc

如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料． １ 证明对称点常用的方法 大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴． 根据对称点的定义不难知道，欲证两点Ｍ、Ｎ关于线段ＰＱ所在的直线对称，只要证明ＭＰＱ≌ＮＰＱ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系． 例１ 在ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝２０°，Ｍ为∠ＡＣＢ的平分线上一点，∠ＭＢＣ＝２０°．求∠ＭＡＢ的度数． 解：如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ． 图 １ 显然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称． 则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°． 这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角”． 例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，Ｐ为形内一点，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数． 解：如图２，以ＡＣ为一边在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．连ＤＰ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°，可知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝ ∠ＡＤＣ＝３０°． 由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ． 易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ，可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°． 则∠ＰＢＣ＝１０°． 这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称”是根据“边、角、边”． 综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后，更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点． ２ 在哪些情况下应想到使用对称点 三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点例３ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数． 解：如图３，在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ． 由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ． 由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ． 在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ． 在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°． 则∠ＰＡＢ＝３０°． 这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法． 例４ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数． 解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ． 图 ４ 由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°，可知∠ＥＢＣ＝１０°，∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ． 由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称． 则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°． 这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。又由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，想到ＢＱ与ＡＣ的交点Ｄ应为ＢＣ中垂线上的另一点．于是，我们选择了如上的方法找到点Ａ关于ＢＱ的对称点Ｅ． 例５在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°,Ｑ为形内一点，∠ＱＣＡ＝∠ＱＡＢ＝20°．求∠ＱＢＣ的度数． 解：如图５，设ＢＣ的中垂线分别交ＢＡ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ，Ｆ为垂足．连ＱＥ、ＢＥ、ＤＣ． 图 ５由∠ＡＣＤ＝２０°＝∠ＡＣＱ，∠ＤＡＣ＝８０°＝∠ＱＡＣ，可知点Ｄ与点Ｑ关于ＡＣ对称．有 ∠ＡＥＱ＝∠ＡＥＤ＝∠ＦＥＣ＝６０°． 由∠ＢＥＦ＝∠ＦＥＣ＝６０°，可知∠ＡＥＢ＝６０°＝∠ＡＥＱ．有Ｂ、Ｑ、Ｅ三点共线． 则∠ＱＢＣ＝∠ＥＢＣ＝３０°． 这里注意到ＡＣ是△ＡＱＢ的∠ＱＡＢ的外角平分线（这一点并不引人注目），在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＤＡ＝ＱＡ，则点Ｄ为点Ｑ关于ＡＣ的对称点．为此我们通过ＢＣ的中