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第一章量子力学的诞生
[1] 在宏观世界里,量子现象常常可以忽略.对下列诸情况,在数值上加以证明:
( l )长l=lm ,质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅;( 2 )质量M=5g ,以速度10cm/s 向一刚性障碍物(高5cm ,宽1cm )运动的子弹的透射率;( 3 )质量M= 0.1kg ,以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射.
[3]导出、估计、猜测或背出下列数值,精确到一个数量级范围内,
( 1 )电子的汤姆逊截面;( 2 )氢原子的电离能;( 3 )氢原子中基态能级的超精细分裂能量;( 4 )37Li ( z=3 )核的磁偶极矩;( 5 )质子和中子质量差;( 6 )4He 核的束缚能;( 7 )最大稳定核的半径;( 8 )Π0介子的寿命;( 9 )Π-介子的寿命;( 10 )自由中子的寿命.
[4]指出下列实验中,哪些实验表明了辐射场的粒子性?哪些实验主要证明能量交换的量子性?哪些实验主要表明物质粒子的波动性?简述理由.
( 1 )光电效应;( 2 )黑体辐射谱;( 3 ) Franck – Hertz实验;( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验;( 5 ) Compton 散射.
[5]考虑如下实验:一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板,板外是一装有检测器阵列的屏幕,利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置.在下列各种情形下,画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图,给出简单解释.
( 1 ) A 缝开启,B缝关闭;
( 2 ) B 缝开启,A 缝关闭;
( 3 )两缝均开启.
[6]验算三个系数数值:(1);(2);(3)hc
]
(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:
在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标,设总能量E
则
代入公式得:
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,,(1)改写为:
(2)
积分得:
遍乘得
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:
求微分: (4)
求积分: (5)
将(4)(5)代量子化条件:
T是振动周期,T=,求出积分,得
正整数
#
[2]一维运动的粒子处在
的状态,其中,求:
(1)粒子动量的几率分布函数;
(2)粒子动量的平均值。
[解] 首先将归一化,求归一化系数A。
(1)动量的几率分布函数是
注意到中的时间只起参数作用,对几率分布无影响,因此可有
令
代入上式得
(2)
动量p的平均值的结果从物理上看是显然的,因为对本题说来,粒子动量是和是的几率是相同的。讨论:
①一维的傅里叶变换的系数是而不是。
②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此,当原来坐标空间的波函数不含时间变量时,即相当于的情况,变换式的形式保持不变。
③不难证明,若是归一化的,则经傅里叶变换得到也是归一化的。
[3] 平面转子的转动惯量为,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标(例如转角)决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是
利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
(1)
说明是量子化的
(……..) (2)
代入能量公式,得能量量子化公式: (3)
#
[4]有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位,洛伦兹与向心力平衡条件是:
(1)
又利用量子化条件,令电荷角动量 转角
(2)
即 (3)
由(1)(2)求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率, ,代入前式得
运动电荷的磁势能= (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )
#
[5]对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出:
(1)
(2)
试根据哈密顿量 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,,因而
(4)
从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方,
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