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沢山定理的进一步探索.pdf
18 中 等 数 学
匮囹
山定理的进一步探索
金 春 来
(清华大学附属中学,100084)
中图分类号:0123.1 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2017)04—0018—05
山定理…通常表述为 : 与 、 与 分别交于点 、.,、 、
如图1,凸四边形ABCD内接于oD,oP (均异于点 .s).则
分别与对角线AC、BD切于点 、,且与o0 (1),1、 、,3、,4分别为△ACD、△ BCD、
内切于点Js.记△ABC、△ABD的内心分别为 △ABC、△ABD的内心或旁心;
,、.,.则直线 经过点 ,、 (2)设 E为直线 AB与 CD 的交点,则
-,。3、.,、 、 分别为△ACE、△ADE、△BCE、
△BDE的内心或旁心.
命题 1与四点 、曰、C、 在圆Jr1上的排
列顺序无关,也与圆厂和厂是 内切还是外切
无关.本文给出了两个不同的图形 (图2、图
3)供读者参考.
图 1
笔者发现,可以将此定理推广为更一般、
内容更丰富的结论;在此基础上,笔者提出
“浞山圆”“浞山轴”“浞山点”这三个概念,
初步探讨其性质,得出一个重要结论——称 ,
之为 “三圆共生命题”. ,l
1 山定理的推广和补充
命题 1 设A、曰、c、D为圆厂上任意排
列的四点,圆 厂、,切于点 .s,圆 .厂与直线
AB、CD分别切于点 、 记△SAU、△SBU、 图 2
△SCV、△SDV的外接 圆分别为 、 、 、 为了对所有的情形均作出统一的严格证
厂4,这四圆分别与直线 交于点 ,】、,2、厶、厶 明,下面采用 “多值有向角 J’这一工具.
(均异于点 、).圆 与 、厂 与 、厂2 证明 由 、S、.,l3、 四点共圆
S= US;
收稿 日期:2016—10—13 修回日期 :2016—11—13
2017年第4期 l9
j 2;』3Jf1C= 13.
于是 , 1AC=2;_ .,1.
这表明, ,平分 BAC或其邻补角.
类似地, 平分 ABC或其邻补角,
,,平分 ACD或其邻补角.
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