第5讲 λ-矩阵与标准形.doc

第5讲 -矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. -矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 -矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似 定义1.1 设和是矩阵，和是非奇异矩阵，若,则称和相抵；若,则称和相合（或合同）；若,则称和相似，即若，存在,使得，则称与相似，并称为把变成的相似变换矩阵.特别，当,称与酉相似，当,称与正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质： 定理1.1 设, 是一个多项式，则 反身性：与相似； 对称性：若与相似，则与也相似； 传递性：若相似于，相似于，则与相似； 若与相似，则,； 若与相似，则与相似； 若与相似，则,即与有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设，若相似于一个对角矩阵，则称可对角化. 定理1.2 设，则可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设,其中 ，则由得, ，可见是的特征值，的列向量是对应特征值的特征向量，再由可逆知线性无关. 必要性. 如果有个线性无关的特征向量，即有,，记，则可逆，且有 , 即有，故可对角化. 推论1.1 若阶方阵有个不同的特征值，则可对角化. 推论1.2 设是阶方阵的所有互不相同的特征值，其重数分别为.若对应重特征值有个线性无关的特征向量，则可对角化. 例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似： 1）， 2），3） 解 1）因的特征多项式为，因而有三个不同的特征值：.由于的3个特征值互不相同，故能对角化. 又求得相应的三个特征向量为：,,,它们是线性无关的.取，则. 2）特征多项式为.故特征值为（二重根），.特征值为的两个线性无关的特征向量为,，而特征值对应的一个特征向量为：，取，则. 3）的特征多项式为，，特征值为，.而对应于特征值1的一切特征向量为，.又对应于特征值的一切特征向量为，，. 不存在三个线性无关的特征向量，所以不能与对角形矩阵相似. 例1.2 设，求的相似对角矩阵及. 解 由，得，（二重根）.则对应于的一个特征向量及对应于二重根的两个线性无关特征向量为，.取，则，故 （1.1） 注意，若取，则，可见不是唯一的. 现在计算.由式（1.1）有，因此易知 . 1.2 特征矩阵 设，称为的特征矩阵. 定义1.3 称中所有非零的级子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式为的一个级行列式因子，.. 由定义1.3可知：.又因能整除每个级子式，从而可整除每个级子式（将级子式按一行或一列展开即知），因此能整除，并记为，. 定义1.4 称下列个多项式 , 为的不变因式. 把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为的初级因子. 因完全由决定， 的不变因式及初级因子也常称为矩阵的不变因式及初级因子. 例1.3 求矩阵的不变因式及初级因子. 解 因的特征矩阵为 , 的行列式因子： ,,,. 不变因式： ,. 初级因子式： . 1.3 矩阵的标准形 定义1.5 设矩阵的全部初级因子为： ，， 其中可能有相同的，指数也可能有相同的.对每个初级因子构作一个阶矩阵，称形如的阶方阵（或））