第一章有限差分方法.ppt

* e f * 2. 如果没有网格资料怎么办？ ★ ? ? ? ? ? ? X Y 第k个站点的权重系数为： * 3. 如果资料中没有所需要的气压层怎么办？ 拉格朗日插值公式的普遍形式为： 拉格朗日的二次(n＝2)插值公式为： 常被用来求各等压面上的要素值或其他物理量。 由于气压随高度呈对数变化，应用插值公式时常取气压的对数形式lnP。 例如，已知探空资料500hPa、700hPa、850hPa的高度值分别为5500、3000、1500（单位：位势米），用拉格朗日二次插值公式求600hPa的高度。 * 思考题： 设计有限差分方案的依据是什么？写出A(x+Δx)、A(x-Δx)、A(y+2Δy)、A(y-2Δy)的泰勒展开式 2. 写出一阶微商和二阶微商的三点式差分方案并说明精度 试推导一阶微商的五点式差分公式，并说明其为几阶精度？ （从泰勒展开式出发推导，不要先写出结论再证明方程两边相等； 注意：泰勒展式需要展开到五阶导数项） 4. 写出拉普拉斯算子的两种五点式差分方案，其为几阶精度？ 5. 试推导用图中5点构造的拉普拉斯算子的差分方案， 并说明精度 总而言之，天气图分析的最大局限就是它是一种定性分析。1820年… * * 在日常天气业务预报中，可以用诊断分析来展现某些特征参量的时空变化特征以及它们天气区的联系 eg, 某个台站要判断当地发生对流天气的可能性以及对流可能达到的强度，就需要计算像SI这一类能够反映大气对流稳定度的参数 * * * * * 五点式差分格式一： * 五点式差分方案二 拉普拉斯算子的九点差分格式 对以上八点，将二维泰勒展开在这八点上，并根据距离的不同给予不同的权重，做以下组合: 1 1 1 1 4 4 4 4 §3 雅可比算子 雅可比算子经常出现在平流项中，如涡度方程，位势倾向方程和ω方程中: 雅可比算子的差分形式 上述格式会在数值预报中引起计算不稳定 网格距大小的涡旋会有伸长现象 原因：在有限区域内没有构成总动能和涡度 平方平均值守恒 Arakawa的雅可比差分方案 (i,j) (i+1,j) (i+1,j-1) (i,j-1) (i-1,j-1) (i-1,j) (i-1,j+1) (i,j+1) (i+1,j+1) （1.1.17）（1.1.18）（1.1.19）均为二阶精度，九点格式，满足诊断分析要求 §4 差分方程的精确性问题 在求解数学物理方程时，构成差分格式的方法有好多种，如有限元方法、特征线法、差商方法等。上面讨论的是最一般的差商代替微商的差分方法。这种方法的精确度与许多因子有关。首先与对△X的截断误差的阶有关，同时差分近似的精确度还依赖于网格距△X的大小及研究对象的尺度。 截断误差的量级为o(Δx)，则称微商的差分近似是一阶的，若量级为o(Δx2)，则称差分近似是二阶的。截断误差的阶数越高，差分近似的精度越高。 * 因为大气是以波状运动为主，假设： (L为A要素场的波长，B为振幅） 以一阶导数的中央差为例： 天气系统确定，则波长L确定,因此Δx越小误差越小 * 当比列△X/L很小，如L≥10△X时，中央差分近似于真值； 如△X≥L/2,则差分的结果很差，如△X=L/2,不论L取什么值，有限差分近似总是为零。 * 如何选取差分格距 ? Δx 泰勒展开式等号右边各导数项的数量级大小如何确定? 气象要素多呈现波动规律，假设： (L为A要素场的波长，B为振幅） 一阶导数的数量级： 二阶导数的数量级： 三阶导数的数量级： * 可见只有在 的条件下，微商阶数较低的项其 数量级才较大，构造差分方案时才可以略去高阶微商项。 * 相对误差 = |误差值 / 计算值| 二阶精度的一阶微商差分方案（三点式） 以略去的第一项计算，其相对误差为 如果 =1，则相对误差为1/6=17% , 计算值的有效位数 只有一位甚至都不到；如果 =1/2，则相对误差为1/24=4% 计算值的有效位数可能有两位。 * 四阶精度的一阶微商差分方案（五点式） 以略去的第一项计算，其相对误差为 如果 =1，则相对误差为1/30=3% , 计算值的有效位数 可能有两位； 如果 =1/2，则相对误差为0.002=0.2%，计算值的有效 位数可能有三位。 * 选取差分格距的原则： 必须取 1, 即 选取差分格距时必须考虑到计算对象的空间尺度 格距越小其相对误差也越小 越低阶的差分方案对格距的要求就越高 气象上一般要求差分计算值的相对误差不超过10% 例如：计算对象的波长L=1000km, 计算一阶微商 若采用