选修2-2 1.1.2 导数的概念.ppt

旧知回顾 平均变化率的定义 我们把式子 称为函数 f(x)从 到 的平均变化 率 . （ average rate of change） 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述具体运动状态. 探究讨论： 新课导入 如何知道运动员在每一时刻的速度呢？ 在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢？ 3.1.2 导数的概念 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度 △t0时，在[2 + △t,2]这段时间内 当△t=-0.01时， =-13.051； 当△t=-0.001时， =-13.0951； 当△t=-0.0001时， =-13.09951； 当△t=-0.00001时， =-13.099951； 当△t=-0.000001时， =-13.0999951； …... △t0时，在[2,2+ △t]这段时间内 当△t=0.01时， =-13.149； 当△t=0.001时， =-13.1049； 当△t=0.0001时， =-13.10049； 当△t=0.00001时， =-13.100049； 当△t=0.000001时， =-13.1000049； …... 当Δt趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1. 表示“当t =2, Δt趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”. 探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示? 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 一概念的两个名称. 瞬时变化率与导数是同 . 2 . 其导数值一般也不相同 的值有关，不同的 与 0 0 0 ) ( . 1 x x x f ￠ 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义, 所以, 同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 练习（第6页） 解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义： 说明在第3h附近，原油的温度大约以1℃/h的速率下降，原油温度以大约以3℃/h的速率上升. 例题2 求函数y=x2在x=1处的导数. 例3 已知函数 在 处的附近有定义，且 ，求 的值. 求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: （1）求函数的增量 （2）求平均变化率 （3）求得导数 归纳 课堂小结 1.瞬时速度的定义 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.导数的定义 一般地，函数 在 处的瞬时变化率是 我们称它为函数 在 处的导数（derivative）. 3.求导数的步骤 （1）求 ?y； ?x ?y （2）求 ； （3）取极限得 f?(x)=lim . ?x ?y ?x?0 1、求函数y=x+1/x在x=2处的导数. 作 业