6-6波动方程和能量.pptVIP

二、 波的能量 * §7-6 波动方程和波的能量 *一、一维波动方程 (wave equation) 为了从动力学角度研究波的传播规律，假设一列平面纵波沿横截面为S、密度为?的均匀直棒传播，取棒沿x轴，波函数表示为 取棒元?x，如图。两端面受到弹性力f1和f2，于是棒元的运动方程 同样x+?x处的弹力f2为 棒元所受的合力为 棒元原长为?x ，长变为 ?y ，拉伸应变为 ，取棒元无限缩小时，拉伸应变为 ，x处的拉伸应变记为 。根据胡克定律知x处的弹性力f1： 因棒元?x很小，略去上式中?x的高次项，得纵波的波动方程 横波的情形 如图棒元的剪应变为 ，无限缩小时为 ， 在 x 处受弹性力为 (G剪切模量) 在x+?x处所受弹性力 棒元所受合力 根据牛顿第二定律得 即 整理得 上式就是横波的波动方程。 因横波波速为 ，纵波波速为 ， 所以波动方程统一为 这就是波动方程的一般形式 。 波动的过程是能量传播的过程 平面简谐纵波在直棒中传播： 1.　动能 质元的振动速度： 质元的振动动能： 1.　势能 应力与应变成正比： 胡克定律： 弹性势能： 又 比较动能 结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能相等，且同相位变化。 波的能量 现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元） 上下 抖动 振速 最小 振速 最大 形变最小 形变最大 时刻波形 在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变， 具有 弹性势能 未起振的体积元 各体积元以变化的振动速率 上下振动， 具有振动动能 理论证明（略）， 当媒质中有行波传播时，媒质中一个体积元在作周期性振动的过程中，其弹性势能 和振动动能 同时增大、同时减小，而且其量值相等 ，即 后面我们将直接应用这一结论。 。 质元的机械能： 能量密度：单位体积介质中的波动能量。 平均能量密度： 可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。 续16 该处的 能量密度 (随时间变化) 简谐平面波 处的振动方程 某点 在密度为 的均匀媒质中传播 借助图线理解 和 该处的 平均能量密度 （时间平均值） 平均能量密度： 结论：机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。 平均能流： 能流：单位时间内通过介质中某面积的波动能量。 单位：瓦特（W） 能流、能流密度 平均能流 一周期内垂直通过某截面积 的能量的平均值 单位：瓦 ( W ) 能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流 单位：瓦·米-2 ( W· m –2 ) 振动状态以波速 在媒质中传播 体积元的能量取决于其振动状态 能量以波速 在媒质中传播 能流 单位时间垂直通过的某截面积 的能量 能流密度（波的强度）： 垂直通过单位面积的平均能流。 单位：W·m-2 能流密度的矢量式： 例3 在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波，其波动的表达式为y = Acos(? t -2?x/?)。管中波的平均能量密度为w，则通过截面S的平均能流是多少？ 解： 例五 1.3 kg · m -3 一频率为 1000 Hz 波强为 3×10 -2 W · m –2 330 m · s -1 此声波的振幅 的声波在空气中传播 波速为 空气密度为 波强 2 则 1 2 2 × 3×10 -2 1.3×330 2000 1 2 1.8×10 – 6 ( m ) 因在空气中传播的声波是纵波，此振幅值表示媒质各体积元作振动时，在波线方向上相对于各自平衡位置的最大位移。