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第五章是离散时间傅立叶变换
第一部分 信号处理与分析;第五章 离散时间傅里叶变换;5.1 非周期信号的表示:离散时间傅立叶变换
1.非周期信号傅立叶变换表示的导出
周期方波序列,周期为N,在一个周期内
其傅立叶级数系数为
;则有
事实上,上面的数值可以看成一个包络函数的样本(抽样点),即
若 固定, 的包络与 无关。;周期
方波
序列;考虑一个信号 ,它具有有限持续期 ;即存在 ,使得
当 , 。
则可以构造一个周期信号 ,使得 是 的一个周期,其基波周期为 ,基波频率为 。
当 越大时, 与 相同的部分越多,即有
;第五章 离散时间傅里叶变换;将周期信号 用包络函数 表示,有
当 时, ,则有
其中
称 为 的傅立叶变换(或傅立叶积分)。
通常的,一个非周期信号 的变换 称为 的频谱。;2.离散时间傅里???变换的收敛性
要保证上式收敛,只要满足
或
而对于反变换
积分区间有限,不存在收敛性问题。 ;比较:
连续时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换
连续,非周期的 连续,以 周期
低频分量在 附近 低频分量在 附近
高频分量在 附近 高频分量在 附近
无限积分区间 有限积分区间;2. 几个常见信号的傅立叶变换
例1 信号
则可以得到其频谱为:
则可以计算其模和相位角。;当a取不同的值时,信号的频谱的表现:;连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换:;例2 矩形脉冲序列
其傅立叶变换为(参考习题1.54)
它的反变换所得到的信号,同周期方波的傅立叶级数的收敛情况相同,不存在吉伯斯现象。;矩形脉冲序列及其离散傅立叶变换的表现:(尺度性质)
;连续傅立叶变换与离散傅里叶变换:
;5.2 周期信号的傅立叶变换
思路:将冲激函数引入到傅立叶变换中。
考虑单位脉冲序列的傅里叶变换:
它的反变换为:
;考虑序列 的傅里叶变换:
按照通常的求和,上式没有意义。
考虑其物理意义,表明该信号低频分量丰富,应该没有高频分量。
按照离散信号的低频分量在 的整数倍附近,则可以定义 的傅里叶变换为
;在连续时间傅里叶变换中,引进冲激函数关系式:
在离散时间傅列叶变换中,引进冲激序列关系式为:
;对于任意的离散时间周期信号,有傅里叶级数展开式为:
则按照上面的定义可以得到其傅里叶变换为:
;利用 的周期性,可以得到傅里叶变换为:
;例1 考虑周期信号
所以傅里叶变换为:;例2 考虑周期冲激串序列
则可以计算其傅里叶级数系数:
所以傅里叶变换为:;5.3 离散时间傅里叶变换的性质
离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换; 离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换
线性性质(略)
时移、频移性质
共轭对称性
; 离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换
4. 差分与累加 微分与积分; 离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换
时间反转
时域扩展 尺度性质; 离散时间傅里叶变换
6. 时域扩展; 离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换
7. 帕斯瓦尔定理; 离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换
5.4(8). 卷积性质
5.5(9). 调制(相乘)性质
周期卷积;例 1 离散时间理想低通滤波器
同样,该系统不具有因果性。
对比另一对离散傅立叶变换对:
没有对偶性。;例 2 考虑下图所示系统,试分析此系统的作用。
截止频率为 的低通滤波器。
1)
2)
3);因为
所以有:
因为 是截止频率为 的低通滤波器,所以
是一个高通滤波器;因此整个系统既通过高频,又通过低频,只是频率在 之间的不能通过。;离散时间傅里叶变换性质
1. 2.
3.
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