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第二章 控制系统的数学模型 本章知识点： 线性系统的输入－输出传递函数描述 建立机电系统数学模型的机理分析法 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法 信号流程图与梅逊公式应用 非线性数学模型的小范围线性化 第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述 物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。 数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。 数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。 建立物理系统数学模型的方法 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。 机理分析法建立系统数学模型的步骤 确定系统的输入量、输出量； 根据物理定律列写原始方程； 消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。 机理分析法建立系统数学模型举例 例2-1:图2-1为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。 解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程组如下 机理分析法建立系统数学模型举例 由(4)、(5)得 由(2)导出 将i1、i2代入(1)、(3)，则得 这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。 机理分析法建立系统数学模型举例 例2-2 图2-6 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速 ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。 机理分析法建立系统数学模型举例 解：列写电枢电路平衡方程 由③、④求出ia(t)，代入①，同时②亦代入①，得 在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，故⑤可简化为 其中 电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。 第二节线性系统的输入—输出传递函数描述 一、传递函数 １．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为 当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得系统的传递函数 传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的响应 c(t)，称为系统的零状态响应。 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开环传递函数。 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征多项式唯一。 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，包括两部分 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状态的响应； 零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的响应。 传递函数的几点性质 传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所有系数均为实数。 传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 传递函数G(s) 描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。 传递函数的几点性质 如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。 系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的拉氏变换L[g(t)]。  例2－3 求例2－1系统的传递函数。 已知其输入－输出微分方程 此即为RC四端网络的传递函数。 第三节 非线性数学模型的小范围线性化 严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范围线性化方法。 　　系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有?个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为： 　　从传递函数的表示式中可以看到，