代数数与无理数的探讨.pdf

代數數與無理數的探討 莊智 一、 簡介: 高中數學中, 探討了一些數 (代數數) 是否為無理數的問題。 例如: √2, 3 + √2, √2 + √3 均是無理數, 而 √2 + √3 + √5 也是無理數, 但證明上就不太容易了。 大學三年級時, 修了許 志農教授的 “數學解題”, 其書上就有一題, 是要證明 √2 + √3 + √5 + √7 是無理數的問題, 也因此令我想去探討這類問題。 √ √ 一些帶有根號的數值是否是無理數並不如想像中顯然, 例如: 3 2 + 5 + 3 2 − 5 實 √ √ 際上就是1. (註: 是 3 2 + 5 + 3 2 − 5 是 x3 + 3x − 4 = 0 的根式解形式)。 同時也 不難看出, a + √a2 − 1 ± a − √a2 − 1 = √2a ± 2, 當 2a ± 2 是完全平方數時, 該 數即是有理數。 這些形式的有理數, 多半是來 自有有理根的多項式的根式解的形式。 另外, 有時 候我們想要找一個次數最低的有理係數 (整係數) 多項式 f (x), 使 f (√2 + √3) = 0。 這樣 的 f (x) 不難找, 是四次多項式 x4 − 10x2 + 1 = 0。 如果換成要找有理係數多項式 f (x), 使 f (√2 + √3 + √5 + √7) = 0, 就不太容易了。 更進一步的, 可以問說, 這樣的多項式, 至少要 是幾次多項式? 本文主要的內容, 就是要針對這兩個問題一般的情形, 提出一個完整的答案。 二、 內容: 我們先來看看如何找 f (x), 使得 f (√2 + √3 + √5 + √7) = 0。 n 結論一: 若 p , p , . . ., p 為 n 個相異質數, a , a , . . ., a 均為有理數, 其中 k = 2 。 1 2 n 1 2 k {m , m , . . . , m } = {ph1ph2phn |h = 0 或 1, i = 1, 2, . . . , n}, 則存在一個非零的有理係 1 2 k 1 2 n i 數多項式 f (x), deg f (x) ≤ 2n 使得 f (a1√m1 + a2 √m2 + + ak √mk ) = 0。 證明: 令 y = a1√m +a √m + +a √m , 由於 yr 均可寫成 a √m +a √m + 1 2 2 k k r1 1 r2 2 + ark √mk 的形式, 其中 ari 均是有理數, i = 1, 2, . . . , k。 因此, 考慮下列 k + 1 = 2n + 1 個式子, yr = a √m + a √m + + a √m , r = 0, 1, . . . , k. (1) r1 1 r2 2 rk k 如果我們取 k + 1 個不全為零的有理數 c , r = 0, 1, . . . , k, 使得下列 k 個式子成立, r a0r c0 + a1r c1 + + ark ck = 0, r = 1, . . . , k. (2) 27 28 數學傳播 27 卷 2期 民 92 年 6 月 則