1-4锥线与直线的关系.DOC

§1(4 圓錐曲線與直線的關係 (甲)圓錐曲線與直線的關係 (1)直線與錐線的關係：  (2)原理： 設f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e=0為一圓錐曲線(的方程式，直線L：px+qy+r=0討論(與L的交點個數 ( 討論的實數解(x,y)的個數將(2)中L的方程式px+qy+c=0代入(1)(消去其中一個變數y)，化成一個一元二次方程式Ax2+Bx+C=0，根據判別式D=B2(4AC，則得到(a)當D0時，L與(交於相異兩點。(b)當D=0時，L與(交於一點。(c)當D0時，L與(沒有交點。 xy平面上有直線L：y=mx+3與橢圓(： + =1，試由m值討論直線L與橢圓的相交情形。Ans：(1)m或m( (與L相交兩點(2)m=((與L只有一個交點  (3) (m (與L不相交 直線y=mx+2不與雙曲線4x2(9y2=36相交，求m的範圍。Ans：m或m( (乙)圓錐曲線的切線 上圖中拋物線的軸L0與其僅交於一點，但並不是切線，因此與錐線僅交於一點的直線並不一定是切線，那麼切線應如何定義呢？ (1)切線的定義：設直線L與錐線(相交於P、Q兩點，當直線L連續變動時，P和Q兩點沿著錐線漸漸靠近，一直到P與Q兩點重合成一個點T，此時直線L稱為錐線(在T點的切線，T點稱為切點。通過切點T且與切線垂直的直線稱為錐線在T點的法線。 但是這個定義牽涉到微積分的知識，超出高中數學的範圍。因此在這裡我們處理錐線的切線問題，依然使用之前所提及的原理，只是有時要利用其他性質來輔助。 (2)切線方程式的求法： 根據之前的原理，我們分成以下幾個型態：(a)已知切線斜率求切線方程式： 設拋物線的方程式y2= (8x，試求斜率m=2之切線方程式，並求切點Ans：y=2x(1，(,(2) 設錐線(： + =1 ，(AB(0)若有斜率m的切線，則此切線的方程式為y=mx(。 若設拋物線y2=4cx，則斜率為m的切線方程式為y=mx+。 若設拋物線x2=4cy，則斜率為m的切線方程式為y=mx(cm2。 結論： (1)給定斜率求切線： 圓錐曲線 斜率m的切線 + =1 y=mx( y2=4cx y=mx+ x2=4cy y=mx(cm2 (2)將上表中的方程式沿向量=(h,k)平移時，切線方程式亦隨之沿向量=(h,k)平移。 根據上表的切線公式，雙曲線 ( =1的切線方程式為y=mx(請討論m的值與切線的存在性。 試求下列各曲線(中，斜率為m的切線：(1)(：x2+y2(4x+2y=0， m=(2)(：y=x2(3x+5，m=2(3)(： + =1 ，m=(2Ans：(1)y=x(( (2)y=2x( (3)y=(2x+2( 求垂直於3x(2y+1=0且與 ( =1相切的直線方程式。Ans：2x+3y(8=0 設雙曲線Γ：4x2(9y2+8x+36y(68=0，依下列各斜率作切線，求其方程式。(1)m=2(2)m=(3)m=(4)m=(5)m=Ans：(1)y=2x+4(4 (2)(3)(4)(5)無法作切線 (b)已知切點求切線方程式： 例子：求過橢圓+ =1 上一點P(6,4)的切線方程式。 [解法]： 設過P的切線之斜率為m，根據切線公式，切線方程式為y=mx( 根據圖形可得切線為y= mx+，又切線通過P(6,4)(4=6m+(64m2+48m+9=0 (m=。(切線方程式為y(4=()(x(6)。 求過雙曲線(： ( =1 上點P的切線方程式。(1)P(5,) (2)P(3,0) Ans：(1)y(= (x(5) (2)x=3 一般情形：(證明僅供參考) 圓錐曲線ax2+cy2+dx+ey+f=0上點P(x0,y0)的切線L方程式為 ax0x+cy0y+d()+e()+f=0。[x2(x0x，y2(y0y，x(，y(，f(f] [證明]：設切線斜率為m，則L的方程式為y(y0=m(x(x0)，化為y=mx(mx0+y0代入(的方程式，得ax2+c(mx(mx0+y0)2+dx+e(mx(mx0+y0)+f=0展開後得(a+cm2)x2+[2cm(y(mx0)+d+em]x+[c(y0(mx0)+e(y0(mx0)+f]=0…(*)因為切線L與(的方程式僅切於一點P(x0,y0)，因此(*)可解出重根x=x0。由根與係數的關係(2x0=((m(2cy0+e)=(2ax0(d(m=(切線L的方程式為y(y0=(()(x(x0)((2ax0+d)(x(x0)+(2cy0+e)(y(y0)=0展開整理成(2ax0x+2cy0y+dx+ey)(2(ax