分岔理论(ⅰ).pdf

chaos 第 讲 分岔理论( Ⅰ) c h a o s chaos 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理 论。分岔是指动力学系统中，控制参量改变时， 其各自的拓扑结构发生突然变化。我们将重点研 究非线性方程（代数方程，微分方程，积分方程 等）解的定性数学理论。主要是分岔点位置，分 c 解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分 h 岔过程与终态的奇异吸引子等等。 a o s chaos 从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前 提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续 的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔， 最后达到的终态即混沌理论的研究对象。典型 的一维Logestic映射即对这种映射的描述。 c h a o s chaos 8.1 分岔实例 这里，我们先从几个实际例子出发讨论分岔 现象。 [例-1] Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题 c 这是Euler在1744年研究的一个问题，它是 h 一个最简单的分岔现象。 a o s chaos c h a 图8-1 Euler杆 o s chaos 考虑一端固定，另一端为自由的均匀直杆 例子，如图8-1所示。Euler杆受到轴向压力μ （即问题的控制参数）。 例子中，采用 表示杆的切线与实轴之间的 θ μ 夹角。在压力 较小时，杆保持直线平衡状 2 μ π 态，即 θ 0 。然而，当压力 超过临界值 c 时，那么原来的平衡状态即失去了稳定性，于是 h 杆发生了弯曲，这时θ ≠0 ，即如图8-1. a o s chaos Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值 •• ⎧ =+ θ μ sinθ 0