44拉普拉斯方程分离变量法.DOC

第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法 以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace）方程 （4.4---1产生这电场的电荷都分布于区域V的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。 （4.4---1R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。拉氏方程在球坐标系中的通解为  （4.4--- 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。P（cosθ）Legendre）函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 （4.4---3）Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。 在每一个没有电荷分布的区域内，φ满足拉普拉斯方程，其通解已由（4.4---2（4.4---3 例1 一个内径和外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷Q ，同心地包围着一个半径为 R1 的导体球（R1 R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 解 这问题有球对称性，电势φ不依赖于角度θ和φ ，因此可以只取（4.4---3n = 0项。设导体壳外和壳内的电势为 () （） （4.4---4边界条件为： （1） （4.4---5（2） （4.4---6（3）Q，因而 （4.4---7把（4.4---4  由此解出 （4.4---8）其中 把（4.4---4  （4.4---9导体球上的感应电荷为 （4.4---10 例2 电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场 E0中，求电势。 解 介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场 E0上，得总电场E 。束缚电荷分布和总电场E互相制约，边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空（图2-5）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0 方向的轴线，取此轴线为极轴。 介质球的存在使空间分为两均匀区域——球外区域和球内区域。两区域内部都没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉斯方程。以φ1代表球外区域的电势，φ2代表球内的电势，由（4.4---3）,两区域的通解为 （4.4---11） （4.4---12） （1）无穷远处， E → E0 ,由第一节例1得 （4.4---13） ， （） （4.4---14） （2）R = 0处，φ2 应为有限值，因此