4支路电流幅频特性-西南大学.DOC

分数阶并联谐振① 王廷江 西南大学 荣昌校区基础部，重庆 荣昌 402460 摘要：本文分析了分数阶并联谐振的基本特性．推导出谐振频率、品质因数、导纳和阻抗、相位及支路电流的表达式，并进行了简化处理．对相频特性、阻抗模幅频特性及支路电流幅频特性进行了仿真分析，得到一些基本结论．采用电感和电容的等效分数阶电路模型，设计了实现该系统的仿真电路，Multisim仿真结果验证了理论分析的正确性． 关键词：分数阶；并联谐振；品质因数；相频特性；幅频特性 中图分类号：TM131.4；TP391.9 文献标志码：A 分数阶微积分与整数阶微积分几乎同时产生，但因其复杂性、实际应用背景缺乏等原因而发展缓慢．直到Mandelbort[1]指出在自然界及诸多技术领域中存在大量分维数的事实，才逐步引起关注．由于分数阶微积分积累了函数在一定范围内的整体信息，具有良好的“记忆”和“遗传”特性，所建系统的数学模型能更准确地反映其物理本质，所以近年来在诸多领域有很好应用，由分数阶电感和电容构成的网络的研究就是其中之一，研究十分活跃[2-17]． 并联谐振应用十分广泛，是由电感和电容并联实现，因实际电感有电阻，便构成并联谐振．本文将其推广到分数阶，对分数阶并联谐振的特性和规律进行了较为系统研究和总结．得到谐振态相关量的简易表达式；还对谐振前后状态全貌进行了仿真分析，发现了一些奇特现象，如对奇数附近阶次具有高度敏感性、每跨越一个整数阶电路感性和容性出现调换现象、在部分阶次范围电路感性和容性发生突变等特性．并建立基于分数阶电感和电容的仿真电路，进行Multisim仿真，对理论分析进行了验证． 1谐振态特性 1.1谐振频率 并联电路如图1所示．图中、、为电路元件，、分别为电感、电容的分数阶数，其值为：、，、为整数． 在频率为的正弦交流电源作用下，图1所示电路导纳为 （1） 当（1）式虚部为零时，电路发生谐振． 取，且当，可得谐振频率 （2） 当时（即整数阶），，这与整数阶并联谐振频率相吻合． 1.2品质因数 由（1）式可得品质因数 （3） 当时，上式可简化为： （4） 当，则，这正是整数阶并联谐振在近似处理后的品质因数． 1.3谐振态导纳、阻抗 图1所示电路发生谐振时，可得导纳 （5） 当时，上式可简化为： （6） 由（6）式，当，，这正是整数阶并联在谐振态的电导． 由（6）式及（4）式，可得谐振态导纳与品质因数关系 （7） 由（7）式可得谐振态阻抗与品质因数的关系 （8） 1.4谐振态支路电流 图1所示电路在有效值为的正弦交流电流源作用下发生谐振 支路阻抗模为 （9） 支路电流为 （10） 同理可得支路电流 （11） 由（10）、（11）式可得 （12） （12）式可作为该谐振品质因数的定义式．当时， ，与整数阶并联谐振所得结果相吻合． 2相频特性 由（1）式可得相位表达式 （13） 取，，并作适当变换可得 （14） 由（14）式，取，不同阶次范围内相频特性如图2所示． 由图2可知，在，，阶次越靠近奇数，偏离谐振态时电路感性（或容性）越强，如各图中分别为0.9、1.1时；越靠近偶数，偏离谐振态时电路感性（或容性）越弱，如各图中分别为0.1、1.9时．仿真还发现，每跨越一个整数阶次，偏离谐振态电路的感性和容性却发生调换；在一些阶次范围内会出现感性和容性突变情况，如图（b）所示．通过对其他阶次范围相频特性的研究发现也有上述类似特征． 3阻抗模幅频特性 由（1）式可得电路导纳模 （15） 取，，则上式变为 （16） 阻抗模为 （17） 由（17）式，当、、确定时，可作如下推断： （1