加强命题在数学归纳法中的运用.doc

加强命题在数学归纳法中的运用 湖北省襄阳一中 苏辉仙 数学归纳法是证明关于自然数N的不等式的一种常见方法,但我们在实际解题中常会遇到,直接证明该命题不太容易,或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的的现象,这时如果我们把该命题适当加强,加强命题的方式有两种:一是把原命题的结论加强,二是把命题一般化.加强后的命题更具活力,更有利于数学归纳法的证明,下面略举例说明. 1,加强命题的结论 例1,设为自然数,求证: [分析]这是一个与自然数有关的命题,当时不等式显然成立,假设时不等式成立.即 那么当时, 由于递推难以实施,思路受阻,此时需加强命题的结论,联想到时,不防把结论加强为 若此式成立,则所证不等式也很容易成立,下面就用数学归纳证明: 当时 不等式成立 假设时,不等式成立即 那么当时, 即当时,命题也成立,综上对于一切,加强后的命题成立,即 从而也成立. 例2,已知 ,数列满足, 求证:对于一切的自然数,有. [分析] 如果只假设, 而不进一步限定的范围,则递推难以实施,即由 很难推出,考察 故加强命题的结论为:对一切 有 ---------- ①那么递推的完成就有了铺垫,同时也包含了我们要证明的不等式,下面我们就用数学归纳法来证明①式 当时,如前所述①成立. 假设时,有 那么当时 同时 成立 所以当时, ①也成立,综上(i), (ii)对一切 有成立 从而原不等式也随之得证. 例3 (2002年全国理高考第22题)设满足 设求并由此猜的一个通项公式 当时,证明对于所有有 (i) (ii) [分析]此题第II问第(ii)步有难度,许多同学按常规思路认为,可为证明(ii)服务,他们认为 所以, 于是(ii)的证明转化为证明 ①成立,而此不等式的左边是不收敛的(证明略),因而①也就是错误的,至此需寻求更确切的限制,以加强范围,又联想到 猜测当时,对于一切有 即成立.下面我们用数学归纳法来证明加强后的的范围 当时,因为 所以命题成立 假设当时,命题成立即 那么当时 又对 与 作差比较 因为当时, 成立, 所以 从而 此说明当命题成立 综上(i),(ii)当时,对于一切均有 成立 在此加强的结论之上我们容易证 所以 即证明高考题中的第II第(ii)问. 2,把命题一般化 例4, 若都是大于1的实数,求证; [分析] 用作差法,分析法,综合法等常规方法证明显然很困难,联想到系数 ,不防将问题一般化为 若都是大于1.则