化二次型为标准形的方法探讨8.doc

化二次型为标准形的方法探讨 刘墨德 （三明学院 数学与计算机科学系，福建 三明 365004） 摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi方法. 关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换 Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard Form LIU Mo-de （Department of Mathematics Computer Scince,Sanming College, Sanming 365004,China） Abstract：This paper provides four kinds of methods for the transforming quadratic form into standard form，namely,the method of completing square ，orthogonal transformation method ,contragradient transformation method and Jacobi method. Key words: symmetry matrix；quadratic form；orthogonal transformation；contragradient transformation 任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法. 1 预备知识 定义1.1[1] 设是数域,系数属于的个未知量的二次齐次多项式 称为数域上的元二次型. 任何一个二次型 都可以写成如下形式 ，的系数可以确定一个阶矩阵 ，由于, 所以,即矩阵是对称矩阵. 定义1.2[4]　矩阵称为二次型 的矩阵，的秩叫做二次型的秩. 由于阶对称矩阵与二次型 一一对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型. 若记，则式可用矩阵的记号写成如下形式： 在本文中，将一个元二次型表为时,都要求是对称矩阵. 定义1.3[4]　二次型 叫做数域上元二次型的标准形. 显然标准形的矩阵是对角矩阵 定义1.4[4]　是数域,和是两组未知量,线性关系式 叫做由未知量到的一个线性变换.系数矩阵称为变换的矩阵.如果,那么称式为非退化线性变换. 利用矩阵相乘与相等的概念,变换可写作 或 其中,, 研究如何通过非退化线性变换将二次型化为标准形 是本文主旨. 引理1.1[16] 设是数域上一个元二次型.那么,二次型 经非退化线性变换后,可化为关于的二次型 并且 定义1.5[1]　设,是数域上两个阶方阵,如果存在上一个阶可逆矩阵,使,那么称合同于. 引理1.2[1] (1)合同于. (2)如果合同于,那么合同于. (3)如果合同于,合同于,那么合同于. (4)如果合同于,那么秩=秩. 定义1.6[2] 如果矩阵经一系列初等变换化为，则称矩阵与是等价的. 引理1.3[2] 矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵与,使得. 引理1.4[2] 阶方阵为可逆矩阵的充要条件是可表为有限个初等矩阵的乘积. 引理1.5[2] 设是可逆矩阵,是任一矩阵,有意义,那么 秩秩秩. 由引理1.4可知,任何可逆矩阵都可表为初等矩阵的乘积.因此,合同关系是矩阵间的等价关系，经过非退化线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.下面讨论用非退化线性变换化二次型为标准形的方法问题. 2 用配方法化二次型为标准形 定理2.1[2] 数域上的任一个元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形. 证明 对二次型的变量个数作数学归纳法. 当时,二次型即为标准形,假设结论对成立,下面证明结论对也成立.分三种情况来证明: (1) 中至少有一个不为0,不妨设,则 令 即 或 其中 . 这是一个非退化线性变换,它使得 其中 是关于的一个元二次型, 由归纳假设,存在非退化线性变换 使二次型变为标准形. 从而非退化线性变换 可将变为标准形 由于线性变换,均非退化,故从到的线性变换 也非退化,结论成立. (2) 均为0,但至少有一个,不妨设, 令 ,即,其中. 它是非退化线性变换,并且使