§43格林函数.PPT

§4.3 格林函数 §4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄利克雷问题的解 课后作业 P100 习题四 4. 5. 6. * * 调和函数的积分表达式： 不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解.(?) 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 下面引入格林函数的概念。 在第二格林公式 中，取 u , v 为 内调和函数， 则 注意到积分区域相同，二式相加 则 如果存在调和函数 v,使得 引入记号： 则 称 为拉普拉斯方程格林函数。 奇性部分 正则部分 如果能找到格林函数中的 v，则狄利克雷问题 的解如果存在,必可以表示为 类似的, 若泊松方程 的解存在, 必然可以表示为 因此，求解狄利克雷问题, 就转化为求相应区域 的格林函数问题。 可以看出, 格林函数仅依赖于选取的区域, 而与 原定解条件中的边界条件无关。因此如果求得某个区域的格林函数, 就可以解决这个区域的一切狄利克雷问题。 一些特殊的区域, 如半空间、球域, 可以通过初等 方法，如“电象法”得到格林函数。 从格林函数的表达式知, 确定格林函数, 需要找到 满足 的调和函数 v。 所谓电象法，就是在 点放置单位正电荷， 在区域 外找出 关于边界 的象点 然 后在 点放置适当单位的负电荷，它产生的 负电位与 处正电荷产生的正电位在 上互相 抵消。由于 在边界 的内部， 在边界 的外部， 处的点电荷形成电场的电位在 内 部是调和函数 v，且有 故 和 处的电荷形成的电场在 上的电位就是所要求的格林函数。 要解决问题： 具体步骤： (1) 对应于 Ω 内的一点 M0 寻求关于区域边界对称的区域外的点 M1, 1. 等效点电荷的位置 　 2. 等效点电荷的电量 (2)在 点置电量为 q 的负电荷，使得在区域 边界上,由该负电荷产生的电位与 点单位正电荷产生的电位互相抵消， 即： 1) 半空间的格林函数 求解拉普拉斯方程在半空间 内的狄利克雷 问题，就是求函数 u(x, y, z)，它满足 为解上述方程，首先找格林函数 在 点( )放置单位正电荷， 在 点放置单位负电荷， 则它与 处的正电荷所产生的 正电位在平面 z = 0上互相抵消。 z y x P 0 由于 在上半空间内为 调和函数，在闭域 上 具有一阶连续偏导数， 因此 就是上半空间 z 0 的格林函数. 为了求出原问题的解： 需要计算 z y x P 0 将上式代入到 即得到原问题的解: 思考:半空间 x 0 的格林函数及狄利克雷问题的解. 2) 球域的格林函数 设 是以原点为中心，半径为 R 的球内任一点, 是　 关于球面　 的反演点。 在　　点放置单位正电荷， 在　　点放置 q 单位负电荷， 使这两个电荷产生的电位在 球面上互相抵消, 即 P o R 故 q 必须不依赖于 P 的选取且满足： 由 ∽ ，得 即只要在 点放置 个单位负电荷, 它形成电场的电位 P o R 具有性质: 在 所围的球域　内部是调和函数, 在　　　上一阶连续可微, 而且 所以, 球域的格林函数为 M o R M o R 利用球坐标可知 现在利用格林函数求球内的狄氏问题： 球的Poisson公式 注：拉普拉斯方程的基本解 称为拉普拉斯方程的基本解，其中 r 表示空间 中　　　两点之间的距离。 基本解的物理意义：点　　处单位正电荷所产生 的电位。 例：建立二维情况下调和函数的积分表达式。 P100, 3 然后与三维情形做同样处理 例：在平面上建立上半平面 y 0 内的格林函数 y x P 0