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《电动力学》第23讲§43镜象法
第23讲 镜象法
第4章 介质中的电动力学(3)
§4.3 镜象法
若求解电场的区域内有自由电荷,我们必须解泊松方程。一种更重要的特殊情况是区域内只有一个或几个电荷,区域边界是导体或介质面。现在介绍这类问题的一种特殊方法。
设点电荷Q附近有一良导体,在点电荷的电场作用下,导体面上出现感应电荷。我们希望求出导体外面空间中的电场,这电场包括点电荷Q所激发的电场和导体上感应电荷所激发的电场。我们设想,导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部某个或某几个假想电荷来代替?注意我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布(在求解电场的区域,即导体外部空间中仍然是只有一个点电荷Q),因而并不影响泊松方程,问题的关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能够满足边界条件,则我们所设想的假想电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷分布,从而问题的解可以简单地表示出来。下面举一些例子说明这方法的应用。
例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q,求空间中的电场。
解 从物理上分析,在点电荷Q的作用下,导体板上出现感应电荷分布。若Q为正的,则感应电荷为负的。空间中的电场是有给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷共同激发的,而另一方面感应电荷分布有是在总电场作用下达到平衡的结果。平衡的条件就是导体的静电条件,即导体表面为一等势面。所以这问题的边界条件是 (导体面上),或者说,电场线必须与导体平板垂直。
怎样才能满足这一边界条件呢?我们设想,感应电荷对空间电场的作用能否用一个假想电荷来代替?如图2-6,设想在导体板下方与电荷Q 对称的位置上放一个假想电荷Q,然后把导体板抽取。若Q = ?Q ,则假想电荷Q 与给定电荷Q激发的总电场如图所示,由对称性容易看出,在原导体板平面上,电场线处处与它正交,因而边界条件得到满足。因此,导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替。Q 称为Q的镜象电荷。
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜象电荷 Q = ?Q 共同激发的电场。以r表示Q到场点P的距离,r 表示象电荷Q 到P的距离,P点的电势为 (4.3---1a)
选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点,设Q到导体板的距离为a ,有 (4.3---1b)
例2 真空中有一半径为 R0 的接地导体球,矩球心为a(aR0)处有一点电荷Q ,求空间各点的电势(图2-7)。
解 假设可以用球内一个假想电荷Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性,Q 应在OQ的连线上。关键是能否选择Q 的大小和位置使得球面上φ = 0 的条件得到满足?
考虑球面上任一点P(图2-7(a))。边界条件要求 式中r为Q到P的距离,r 为Q 到P的距离。 因此对球面上任一点,应有 (4.3---2)
由图2-7(a)看出,只要选Q 的位置使 △OQ P ~ △OPQ ,则 常数 (4.3---3)设Q 距球心为b,两三角形相似的条件为 b /R0 = R0 /a,或 (4.3---4)由(4.3---2)和(4.3---3)式求出 (4.3---5)(4.3---4)和(4.3---5)式确定假想电荷Q 的位置和大小。
由Q和镜象电荷Q 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P(图2-7(b))的电势为 (4.3---6)式中r为由Q到P点的距离,r 为由Q 到P点的距离,R为由球心O到P点的距离,θ 为OP与OQ的夹角。
简单讨论一下结果。由高斯定理,收敛于球面上的电通量为 ?Q ,因此,Q 等于球面上的总感应电荷,它是由于受电荷Q的电场吸引而从接地处传至导体球上的。由(4.3---5)式,|Q | Q,由Q发出的电场线只有一部分收敛于球面上,剩下的部分伸展至无穷远,电场如图2-8所示。
例3 如上例,但导体球不接地而带电荷 Q0 ,求球外电势,并求电荷Q所受的力。
解 这里给处的条件是导体上的总电荷。这条件包括
(1)球面为等势面(电势待定);
(2)从球面
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