声波方程满足伽利略协变性要求.doc

声波的波动方程满足伽利略变换下的形式不变性 李学生 （山东大学物理学院，济南 250100） 摘要：简单地验证了声波的波动方程具有伽利略变换下的形式不变性. 关键词：声波，运动学方程，波动方程，伽利略变换不变性 波动方程给出了介质内体元的运动和受力的关系，反映了波动传播的机制，对应于经典力学的动力学方程，波的运动学方程是波动方程的解.由于波动方程在推导过程中利用了牛顿第二定律，因此应当满足伽利略变换.声波波动方程是否具有伽利略变换下的形式不变性，即声波的波动方程是否满足力学相对性原理的问题，文献[1]说：“其实不协变的定律很多，例如： 对于均匀各向同性介质，如果介质是静止的，则声波方程是 ?▽2?????????????????????????????????????????????????????? ?这里U为波动量，容易验证此定律不具有伽利略变换下的形式不变性? ??????由于声波的运动动方程由牛顿第二定律得出，如果波动方程不满足伽利略变换，说明经典力学存在着严重的问题，因此研究这个问题一一比较重大? ?????下面我们假定媒质空气静止声源静止声波和波动方程经伽利略变换形式不变′向声源右方运动，速度为u,则声波的运动学方程为 在S系 ψ（x,t）=Acos2πf（??）???????????????????????????????????????????????????????????????????（?） ′两坐标系坐标变换关系为 x=x′+ut t=t′ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 在S坐标系，波动方程为 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（?） 通常我们称式（?）为?而称???为波动方程? 将（?）式代入（?）式，可以得出在′坐标系声波的运动学方程为 ψ′（x′,t′）=Acos2πf（??） ?????????????????］???cos2πf（??）???????????????????? 令′=f，v′=v-u，则有 ψ′（x′,t′）=Acos2πf′（??）???????????????????????????????????????????????????????????????????????????（?? 将（??与（??比较，说明声波的运动学方程经伽利略变换后形式不变? ， ????????有这两个式子我们便得到，?????????????????????????????????????????????????????????????? ????比较（??、???式，说明波动方程经伽利略变换后形式不变?由于机械波必须在媒质中传播，而波相对于媒质的速度是恒量，所以在多普勒效应中起作用的是波源及观察者相对于媒质的速度，而不是波源与观察者之间的相对速度，所以在这里声速不是不变量?但是在本题中由于我们假定波源相对于媒质不变，因此观察者相对于波源的速度等价于观察者相对于媒质的速度? ′=f，此即为波源静止，观察者远离波源方向运动时的多普勒效应；波源静止而观察者向着波源方向运动、观察者静止而波源远离观察者方向运动、观察者静止而波源向着观察者方向运动时的多普勒效应公式参见文献[6]，根据本文的分析方法考察声波运动学方程和波动方程得出的结果一致——声波运动学方程和波动方程具有伽利略变换下的形式不变性，本文不再分析. 2.在S′系我们只对波的运动学方程和波动方程进行坐标变换，不用管介质的问题,如果按照运动介质处理就错了，此时声波的运动学方程（4）的伽利略变换式是文献[1]的（8）式的结果部分，在一维情况下简化为 （6’） 此式与（4）式明显不是同一形式！所以，声波方程不具有伽利略变换下的形式不变性！但是如文献[1](8)式所示，它属于以介质平动速度u为参数的声波运动规律最小协变集, 一维情况下为: 声波方程为 (7’)} 在单向波的特殊情况下成立 于是，（6’）式才能化为（6）式.这是对于伽利略变换的错误理解.类似的，研究机械能守恒定律满足伽利略变换时，场的坐标与质点的