复化辛浦生公式.ppt

3.2 复化求积公式的截断误差 第五章 §5.3 复化求积公式 3.2 复化求积公式的截断误差 第五章 §5.3 复化求积公式 3.3 区间逐次分半求积法 实际计算时常采用“事后估计误差”的方法。即在步长逐次 半分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算。并同时 查看相继两次计算结果的误差是否达到要求，直到所求得 的积分近似值满足精度要求为止。 §5.3 复化求积公式 第五章 复化求积公式是提高精确度的一种有效方法，但在使用 复化型求积公式之前，必须进行先验估计，以确定节点 数目，从而确定合适的等分步长； 误差估计困难； 由复化梯形(Trapz)公式为 --------(1) --------(2) 积分值为 --------(3) 积分值为 假定 在 上变化不大,即有 得 上式也可写为 P.65 （4） 这说明用 作为积分I的近似值时,其误差近似为 实际计算中的递推公式为 计算过程中常用 是否满足作为控制 计算精度的条件. （5） 例5 用区间逐次分半的梯形公式计算 要求其误差不超过 （其精确值为 ）。 解 利用式（5）编程计算，其结果见下表 * * 第五章 数值积分 §5.1 构造数值积分公式的基本方法 §5.2 Newton-Cotes公式 §5.3 复化求积公式 §5.4 龙贝格求积算法 引言 第五章 但在实际计算中常常会碰到一些困难： 数值积分基本形式 为了便于讨论，我们假定被积函数在闭区间上连续。 引言 第五章 第五章 §5.1 构造数值积分公式的基本方法 这就是插值型数值求积公式, 数值积分公式的余项 第五章 §5.2 牛顿-科特斯求积公式 积分区间的等分点作为求积节点 牛顿—科特斯公式 即 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式. 1、求积公式构造 其中 而 因此对于定积分 有 余项 令 即有 n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差) 注意是等距节点 所以Newton-Cotes公式化为 当n=1,2,4时的公式是最常用的低阶公式。 Cotes系数为 求积公式为 1.梯形公式 上式称为梯形求积公式，记为 Cotes系数为 求积公式为 2. 辛浦生公式 上式称为Simpson求积公式. 3. 科特斯公式 第五章 为使求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立. 2、求积公式的代数精度 2、求积公式的代数精度 容易验证梯形公式，辛浦生公式，科特斯公式 分别具有1，3，5次代数精度。 例2 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. 解: 因此 所以该积分公式具有3次代数精确度。 积分第一中值定理：如果f(x),g(x)在区间[a,b]连续， 且g(x)在区间(a,b)上不变号，则存在 使得 3、求积公式的截断误差 证: 4、牛顿－科特斯公式的稳定性 因为牛顿－科特斯公式对于f(x)=1必然准确成立，因而有 假设计算 时有误差 即 则在实际中用 代替 产生的误差为 如果 均为正数,令 则有 在此计算过程时稳定的。 如果 有正有负 ,则 这时误差得不到控制，因而计算过程中稳定性没有保证。 1、复化梯形公式 §5.3 复化求积公式 3.1 常用复化求积公式 各节点为 相加后得复化梯形公式 第五章 2、复化辛浦生公式 相加后得复化辛浦生公式 …(5.20) 式中 3、复化柯特斯公式 …(5.21) 式中 例5.4 解: 为简单起见,依次使用8阶复合梯形公式、4阶 复合Simpson公式和2阶复合Cotes公式 可得各节点的值如下表 0 1 0.125 00.25 00.375 00.5 00.625 00.75 00.875 0 1 0分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有 原积分的精确值为 精度最高 精度次高 精度最低 比较三个 公式的结果 显然复合辛普森求积公式具有精度高,计算较简便等优点.