单边算子有界性和KdV 型色散方程的适定性研究 - 中国科学.PDF

中国科学: 数学 2014 年 第44 卷 第6 期: 623 632 优秀博士学位论文专栏 单边算子有界性和 型色散方程的 适定性研究 石少广 临沂大学理学院, 临沂276005 E-mail: shishaoguang@mail.bnu.edu.cn 指导教师: 陆善镇 北京师范大学数学科学学院 收稿日期: 2013-05-03; 接受日期: 2013-08-21 国家自然科学基金(批准号:和、山东省自然科学基金 (批准号: ZR2012AQ026) 和临 沂大学重点学科提升计划资助项目, 本学位论文荣获 “2011 年教育部优秀博士研究生学术新人奖” 摘要 数学和物理中许多重要问题均可归结为算子在某些函数空间中的有界性质. 奇异积分算子有界 性质的研究是调和分析理论的核心课题之一, 由此发展起来的各种方法和技巧已广泛应用于偏微分方 程的研究. 借助奇异积分算子在Lebesgue 空间或Morrey 型空间中建立的时空估计和半群理论, 可以 得到非线性色散方程在低阶Sobolev 空间中Cauchy 问题的适定性. 本文首次定义一类单边振荡奇异 积分算子并研究该类算子的经典加权有界性质. 受经典交换子刻画理论的启发, 本文首次引入Morrey 空间的交换子刻画理论. 利用不同于常规极大函数的方法得到两类象征函数在Morrey 空间中的交换 子刻画. 以上结果为偏微分方程的研究提供了新的工具. 最后, 结合能量方法和数论知识, 本文解决几 类KdV 型色散方程的适定性问题. 关键词 单边振荡积分算子 Morrey 空间 KdV 方程 主题分类 42B20, 42B25 引言 本文是作者的博士毕业论文 [1] 的一个简要介绍, 由于篇幅限制, 本文略去所有证明, 有兴趣的读 者可参见原论文. 文中关于单边振荡积分算子弱 (1, 1) 有界性质 (以下简称有界性) 的主要结果最早 发表于文献 [2], 而关于其加权L 有界性和交换子有界性的详细介绍可参见文献 [3,4]. 在博士论文之 后, 我们继续进行了这方面的研究, 不仅得到了单边振荡积分算子在加权单边Hardy 空间H 1+ 中的 加权有界性 还通过一个反例说明了该加权有界性对单边 空间 + ( 1) [5]. , Hardy H q 不成立 文中 关于Morrey 空间交换子刻画理论的主要结果发表于文献 [6]; 关于奇异积分算子在Morrey 型空间中 的加权有界性的结果可参见文献[7,8]. 博士论文后, 我们研究了一类次线性算子在该类空间中的有界 性, 部分结果可参见文献 [9]. 文中关于色散方程适定性的研究, 最早的结果发表于文献 [10], 我们得到 了广义周期KdV 方程的局部适定性, 极大丰富了高阶KdV 方程的研究. 关于二阶KdV 方程 (KP 方 程) 和周期 Benjamin 方程的局部适定性结果可参见文献 [11, 12]. 博士论文后, 我们继续研究了周期 [13] Benjamin 方程的整体适定性, 得到了与局部适定性一致的适定性指标 . 英文引用格式 Shi S G. Study of the boundedness of one-sided operators and the well-posedness of KdV type dispersion equations (in Chinese). Sci Sin Math, 2014, 44: 623–632, doi: 10.1360/N012013-00090 石少广: 单边算子有界性和 KdV 型色散方程的适定性研究 研究背景 调和分析是现代核心数学的一个重要组成部分, 国际数学家联盟前主席Carleson 教授曾指出 (见 Notices of AMS, 2001): “调和分析在数学中的地位相当于原子理论在物理学中的地位.” 调和分析的起 源可追溯到 19 世纪初数学家Fourie