教学实例分享排列组合.DOC

教學實例分享─排列組合 林世偉 臺北市立成功高中 在高中課程中，讓學生票選最喜歡和最討厭的單元。我相信現行課程中第四冊第二單元排列組合應該都名列其內。學生喜歡的原因可能如下：有趣、可以跟生活結合、不需要複雜的運算。至於學生不喜歡的原因，我想應該就是十分容易寫錯和不知道如何下手。所以筆者在進行教學活動的時候，會讓學生先學會基本觀念，進而討論題目。討論時常常利用排容原理去解決題目，但是有些題目會分不同情況去討論，有些則是反面去想，利用全部扣除不可能的情況。學生在討論的過程中常分不清楚如何下手，導致容易迷失概念，所以就把焦點放在解決過多不同類型問題，而忽略去思考排列組合的樂趣。今天筆者就寫出課堂中引發很多學生討論的兩個例題，分享淺見，希望可以達到交流的目的。 將四本不同的書全部分給甲、乙、丙三人，則甲至少得一本有幾種分法？ 這題是課本的例題，相信各位教師應該不陌生。教學的時候，我就將講解課 本所提供的解法。 解法：所求 這是反面的做法，也就是全部情況扣掉甲沒有得到書的情況。此題講解完就有學生問到自己正面的算法為什麼算出來答案不對？我請學生說出他的想法，學生解法如下：我先分一本書給甲，搭配其他三本書任意分。因為甲已經有先分一本書，所以甲至少會有一本書。 學生解法：所求 這樣的解法有問題嗎？看得出來學生的分法會比正確答案多，多在哪裡呢？我們就藉由下面的例子說明。假設我們將四本不同的書編上A、B、C、D且甲最後得到兩本書，乙得一本，丙得一本。首先四本書先挑一本A給甲： 甲 A 乙 丙 其餘三本書B、C、D隨便分三人 甲 A B 乙 C 丙 D 再看看另一種情況，四本書先挑一本B給甲： 甲 B 乙 丙 其餘三本書A、C、D隨便分三人 甲 B A 乙 C 丙 D 上述兩種情況甲都得到了A、B兩本書，乙得一本C，丙得一本D。所以要是先分一本書給甲，搭配其他三本書任意分，就會出現重複的情況。答案會多出很多。那本題如何利用正面算法去處理題目呢？ 解法：甲至少得一本的分法 將等字母排成一列，相同字母不相鄰的排法有幾種？ 在教學現場上，我先講解何謂相同字母不相鄰，就是相同的字母要分開。再讓學生自己解決這題，發現大部分的學生有下面這種不完全正確的解法。 學生解法：先排、的排法有種，再相間插入兩個，排法共有種，(解說此題時，可能尚未學到組合符號。亦可用代替。)最後再安排4個：方法有種，故相同字母不相鄰的排法有種。 這樣的方法確實將相同字母分開，但是這答案少了好多種。是學生忽略了什麼情況嗎？問題就出在相間插入兩個上面，要是沒有相間的插入兩個，還能不能出現相同字母不相鄰的情況？先排成的情況，再安排4個，讓相鄰的中間一定要安插，如這樣的排列就會滿足所求。所以我們將正確作法再詳細的寫一遍。 解法：先排好，再安插。先排時要分兩種情況討論。 (相鄰時：排法有種，再安插4個：方法有種，(因為中間的，一定要選。只剩三個安插其他4個) (不相鄰時：排法如學生解法共有種。 由((可知，排法共有種。 另外一些的同學，想利用反面的作法。 學生解法：所求  (相鄰的排法，先將看成一字母，4個為相同物，故為、 、、、、、的排列，排法有種。而相鄰的情況，則是先將看成一字母，2個為相同物，故為、、、、的排列，排法有種。最後相鄰且相鄰的排法，就是先將看成一字母，再將看成一字母，故為、、、的排列，排法有種。) 這個答案又比正確答案大得多，問題又出現在哪裡呢？仔細想一想，這樣的解法是扣掉相鄰，這個相鄰是指四個皆相鄰，有沒有可能有兩對兩個相鄰出現在排列中，如。這種情況我們有排除嗎？有達到相同字母不相鄰的題目敘述嗎？那該如何有另一種反面思考模式呢？ 解法：所求  (在不相鄰的排法中，要先排列、、、，其中2個為相同物，有種方法。最後再安排4個：方法有種，利用乘法原理，可得不相鄰的方法有種情形。而不相鄰且相鄰的排法如下，先將看成一字母，故為、、的排列有種，再安插4個：方法有種，可得不相鄰且相鄰的排法有種。) 上課的過程中，常常都是教師寫出正確的解答。學生模仿學習而內化數學知識，但是其實學生大部分只看懂解法，沒有深刻的去思考。透過學生反思錯誤和簡單的師生討論，能夠更讓教學清晰透徹。願每位學生都能真心快樂的思考數學。 3