第一章 2-2初等解析函数.ppt

* 例12 解 * 6 *.反三角函数和反双曲函数 两端取对数得 定义： * 反正弦函数 反正切函数 * 解 例9. * 本章主要内容 复变函数 连续 初等解析函数 判别方法 可导 解析 指数函数 对数函数 三角函数 双曲函数 幂 函 数 反三角函数 * 本章要注意的几点： 导数的概念 解析的充要条件 基本初等函数的运用 * 计算初等函数值 * 第二章作业：P66 2.（2） （3） 3.（2） （3） 4.（1） 5. 6. 15和18任选一题. * §2-3 初等解析函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、根式函数 五、三角函数和双曲函数 六* 、反三角函数和反双曲函数 * 1. 指数函数 定义 显然 为简便，常用下面记号 与指数函数符号一致 与Euler公式相一致 但也有不妥之处 * 定理 指数函数具有如下性质： * 例 1 解 * 例 2 解 求出下列复数的辐角主值: * 例 3 解 从而，有 * 因为多值函数的多值性是由辐角函数的多值性引起来的， 我们先研究辐角函数： 辐角函数Argz: 先来看一下使辐角函数为多值的原因。 对于确定的 ，若设 ，则 可取这些值: ，而能取 以外的那些 值即 的原因是:在复平面上存在一条从 出发绕原点连续变动一周后又能回到 的简单闭 曲线． 因此，为使取不到 这些值,只须将复平面从原点起 沿正实轴剪开即可 * 定义 设函数f(z) 为多值函数,若当变点 z从起始点 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点 时,函数从一个枝变到另一个枝,则称a为函数 的枝点． 显然,当变点z 从起始点1 出绕一条包围原点 的简单闭 曲线按逆时针方向连续变动一周再回到起始点1时，Argz 从 （k确定为一整数） , 变到 ,依定义可 知，原点为函数Argz的一个枝点。 * 2. 对数函数 这样 或 因此 定义 * * 例 4 解 注: 在实函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实对数函数的拓广. * 例 5 解 * 解 * * 对数函数的性质 对于某一固定分支, 有 * 3. 幂函数 注: 定义 * 例7 解 例8 解 * 注： 解 问题在什么地方？ 表达式？ * 幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内解析, * 4. 根式函数 定义 设 ，称满足 （ n为不小于2的正整数)的 为z的n次根式函数，或简称根式函数，记作 根式函数为多值函数,它不是解析函数. 对于每一个确定的 都有n个不同的 与之对应，即 有 k=0,1, …,n-1 根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n个 单值函数 * 称用来剪开复平面，从而使多值函数能分出单值枝的割线（或割痕）为该多值函数的枝割线．由此可知, 复平面上从原点起始的正实轴便是函数Argz, Lnz的枝割线. 同时,由枝割线所起的作用可知,在扩充复平面上, 任意一条从原点起始伸向无穷远点的射线都是它们的枝割线． * 由此可见: 一般而言，其支割线不是唯一的，而且支割线的形状可以是多种多样的． 为确定起见，我们一般只选从原点起始的正实轴或者负实轴为函数的枝割线. 根式函数的每个单值分枝在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数. * 5. 三角函数和双曲函数 将两式相加与相减, 得 下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况. * * * 为周期的周期函数. * 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. 双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内也都是解析函数 * 一些常用的重要公式： * 但与实函数完全不同的是：sin z, cos z 无界 * 例10 解 * 解 例11