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* 一元二次函数 二次函数高考地位分析 二次函数问题是一类重要的问题,它以函数、不等式、方程知识为载体,融推理、证明、探索于一体,综合性强,是教与学的难点。而《数学课程标准》指出:“结合二次函数的图像,判断一元二次函数方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系”,同时又强调:“通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系”。显然,新标准把二次函数摆在了更重要的位置,并突出了三个“二次”之间的关系,对思维能力的要求提高了,因此有必要对这类问题作一些探讨。 1、二次函数解析式的三种表示形式:①一般式______________ ②顶点式_________________ ③两根式_________________ 要点回顾 2、二次函数 的图像与性质: 减区间: 减区间: 增区间: 增区间: 单调性 值域 定义域 图像 实数集R 实数集R 要点回顾 二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的解集 二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的解集 二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 二次函数y=ax2+bx+c (a0) 的图像 Δ0 Δ=0 Δ0 判别式Δ=b2-4ac 3、“三个二次”:二次函数、二次方程、二次不等式间的主要关系 4、设方程ax2+bx+c=0(a≠0)若△≥0则x1=__________ x2=__________ x1+x2=______,x1x2=_____ ,|x1-x2|=_____韦德定理 φ φ 没有实根 实数集R 有两个相异实根 有两个相等实根 x1 x2 x1=x2 课前自测 1、函数y=-x2+x-2在区间[1,4]上的最小值( ) A.-7 B.-4 C.-2 D.2 2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 上是减函 数,那么实数a的取值范围是( ) A.a≥3 B.a≤-3 C.a≤5 D.a≥3 3、如果函数f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有: f(2+t)=f(2-t),那么( ) A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1) 4、已知二次函数f(x)=x2-4x-4,则f(x)在[4,5]上的 最小值为______,在[0,3]上的最小值为_____, 在[-2,-1]上的最小值为_____ 5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________ C B A -4 -8 1 f(x)=-4x2+4x+7 5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________ 课前自测 解法一:利用一般式 设 由题意得 解之得 ∴所求二次函数为 课前自测 解法二:利用顶点式 ∴所求二次函数为 所以抛物线的对称轴为 又函数有最大值为 8 所以可设 解之得 5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________ 课前自测 解法三:利用两根式 ∴所求二次函数为 又函数有最大值为 8 所以可设 由已知 的两根为 5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________ 即 即 解之得 或a=0(舍去) 探究互动 (二)二次函数的值域和最值问题 (一)求二次函数解析式的问题 (一)求二次函数解析式的问题 例1:已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(x-1),f(x)的最大值 是9,且f(x)=0的两根的平方和为5,求f(x)的解析式 又f(x)的最大值是9 解:由f(2-x)=f(x-1)得f(x)的对称轴 故可设 ,且a0 即 设f(x)=0的两根x1、x2,则 , 解得a= - 4,所以 两根的平方和为5 (一)求二次函数解析式的问题 规律总结: 待定系数法求解析式,关键合理选用解析式的形式,注重转化化归思想的运用 (一)求二次函数解析式的问题 练习1:已知f(x)是二次函数,且不等式f(x)0的解集 为(0,5),且f(x)在区间[-1,4
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