2011智轩高数基础导学讲义--第一章 函数与极限.pdf

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2011 智轩考研数学基础班讲义 http://bbs.qinjing.cc 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一、集合 1.1 集合是事件的数学表达形式 集合是指具有某种特定性质的事物总体,组成这个集合的事物称为该集合的元素。 集合是事件的数学表示。事件的概念源于随机试验所有可能的结果组成的一个集合S ,S 及其任意子集 称为事件。如掷一颗骰子,S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,子集S = 1, 2, 3 等就是事件。在每次试验中,当且 { } 1 { } 仅当某一子集中的一个元素出现,称对应该子集的事件发生;F= { }不包含任何元素,称为空集,即为 不可能事件。 1.2 集合的运算法则 集合遵循下列基本逻辑运算法则。 ①包含:A ÌB ,即A 事件发生必导致B 事件发生。 ②相等:A =B ,即A ÌB 且B Ì A 。 ③和 (并):A ÈB 或A +B (注意此处的+ 号只是È 的简化表示,不一定满足数字运算的+ 号的功能), 即A 和B 至少有一事件发生。 ④互补:A ÈB =W, A ÇB =FÛ A ÈB =W, A ÇB =FÛ AB = A B ,称A, B 或 A, B 为 ( ) 互逆或对立事件。 ⑤互斥:A ÇB =FÛ AB = A ,称为互斥或不相容事件,注意与对立事件的区别和联系。 ⑥积 (交): A ÇB = AB ,即A 和B 同时发生。 ⑦差:A -B = AB ,称为差事件,即A 发生时,B 不发生。注意集合B 可能比A 大,只减去B 与A 相 同的子集元素。 ⑧独立:P AB = P A P B ,称为事件A, B 独立,特别注意独立概念是用概率来定义的。 ( ) ( ) ( ) 注意符号ȹ 数字+ ,例如:A ÈB = A È B -A ¹ A + B -A =B ; ( ) ( ) 符号ǹ 数字´ ,例如: A Ç B -A =F¹ A ´ B -A = AB -A 。 ( ) ( ) 所以,读者应该把上述公式中的+ 与´号理解为并与交,一般不遵循常规的四则运算规律,只有在集 合没有重叠情形下,È= 数字+ ,符号Ç= 数字´才可能成立。集合的运算还常常使用文氏图来直观计算。 1.3 区间、邻域和定义域 区间形式为 a, b , a , b , a , b , a , b ,其中规定a b ,区间长度b -a ¹ 0 ;二定义域形式也为 [ ] ( ) [ ) ( ] a, b , a , b , a , b , a , b ,但规定a £b ,长度可以等于零,意味定义域可以是一系列离散的点, [ ] ( ) [ ) ( ] 比如函数y = cosx -1 Þx = 2kp, k = 0, ± 1, L。 k 二、映射与函数 2.1 函数是实数集之间的映射 设非空集合X , Y ,如果存在一个对应法则f ,使得对X 中的每个元素x ,按照法则f ,在Y 中有唯 一确定的元素y 与之对应,其中集合Y 中除了与x 对应的元素外,还可能有多余元素,则称f 为从X 到Y 的映射,记作f :X ®Y 。 如果把X 的元素当成儿女们,把Y 的元素当成父母,则任何人只有一对父母,而一对父母却不一定只 有独生子女,父母的结合就是对应法则。 如果上述集合中的元素都是实数,且为满射,则这种映射称为函数关系,记作y = f x ,x 的取值范

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