五阶变系数线性微分方程的不变量解法.pdfVIP

西 安 工 程 大 学 学 报 JournalofXi’allPolytechnicUniversity 第 22卷第5期 (总93期) 2008年 10月 Vo1．22，No．5(Sum．No．93) 文章编号：1671—850X(2008)05-0642—05 五阶又互刃数线性微分方程的不变量解法 孙法国，胡新利 ，王晓东 (西安工程大学 理学院，陕西 西安 710048) 摘要：为了研究五阶变系数线性微分方程的解法，通过变量变换，引入 了五阶变系数线性微分方 程不变量的概念 ，并得到 了其不变量组；进一步讨论 了不变量的性质，给 出了五阶变系数线性微 分方程 的一些可积类型． 关键词 ：变系数 ；线性微分方程 ；不变量 中图分类号 ：0175．1 文献标识码：A 文献[1]研究了二阶变系数线性微分方程的不变量及其应用，文献E2]研究了三阶变系数线性微分方 程的不变量及方程的解，文献[3]研究了四阶变系数线性微分方程不变量解法．目前，还没有关于一般的五 阶变系数线性微分方程的不变量的研究结果．本文研究了五阶变系数线性微分方程 的不变量及其在方程 求解中的应用． 引理 1 五阶变系数线性微分方程 y +p(x)y“+q(x)y +r(z) +s(x)y+t(x)y一厂(z)， (1) r 经变换 Y：zexp(I()dx) (其中 ()为待定的函数) (2) J 化为五阶变系数线性微分方程 5(+A(z)z’“+B()z+c(z)+D(z)z+E(z)一厂(z)exp(一j．(z)dz) (3) 的充要条件为 A (z)一 5 (z)十 户()， (4) B(z)= 109 (z)+ 10 ()+ (z) ()+q(z)， (5) c(z)一309(x)~(z)+lO~t(x)+109。(z)十6p(x)9(z)+ 6p(x)。(z)+3q() ()+r(z)， (6) D(z)= 5 (z)+20 (z) (z)+ 15(9 (z))。+ 309。(z) (z)+ (z)+ 4p()[ (z)+39(x)9(z)十 (z)]+ 3q(x)[ (z)+9。(z)]-I-2r(z)9(z)+s(z)， (7) E(z)一 ’(z)+[5 (z)+p()] ()+109() ()+ [1Oop(z)+4p(x)9(x)+q(z)] (z)+[159(x)+3p(z)]( (z))。+ [3o矿(z)+6p(x)9。(z)+34q(x)+r] (z)+ ()+p(x)94(z)+ 收稿 日期 ：2008—04、10 基金项目：国家 自然科学基金资助项 目 通讯作者：孙法国(1960一)，男，陕西省渭南市人，西安工程大学教授．E-mail：sfg12600@126．com 第 5期 五阶变系数线性微分方程的不变量解法 643 q(z)。(z)+r(z)矿(z)+s(z)(z)+￡(z)． (8) 证明 将式(2)代人方程 (1)，并与方程 (3)比较系数可得式(4)～ (8)．反之，若式(4