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“包装的学问”之数学模型 　　【摘 要】文章给出了“包装的学问”中包装方案的数学化与包装方案数的确定方法，建立了表面积最小的非线性整数规划模型并给出了模型的求解方法。 　　【关键词】包装的学问 包装方案 数学模型 　　“包装的学问”是北师大版小学数学五年级下册第82-83页的“?C合与实践”领域的教学内容。限于小学生的思维，教材中的包装问题只涉及一个面、两个面拼接的情况，不涉及三个面的拼接。作为教师，应该思考一般的包装问题。 　　一、问题提出 　　包装问题：将n个长、宽、高分别为a，b，c（）的长方体包装成大长方体，包装时要求包内相邻两物体必须以全等的两个面对接，怎样包装使表面积最小？ 　　二、问题分析 　　要求包装后长方体的表面积，只要求出棱长；要求出棱长，只要求出包装方案。要解决包装问题，必须先将包装方案数学化，再确定包装方案数，算出各包装方案的表面积，确定最优方案。 　　三、模型建立 　　（一）包装方案的数学化 　　为叙述方便，建立如下图所示的空间直角坐标系。任一包装方案都是由x，y，z方向对接形成的，因此可用三维数对表示包装方案。 　　x方向对接引起长的改变，y方向对接引起宽的改变，z方向对接引起高的改变。 　　例如：某包装方案是x，y，z方向分别对接n1，n2，n3个形成的，那么该包装方案可用表示，其中n1是方向接的个数，n2是方向接的排数，n3是z方向接的层数。 　　该包装过程如下：方向对接n1个形成一行，包装后长方体的长扩大到原长方体长的n1倍；y方向再拼接这样的行形成1层，包装后长方体的宽扩大到原长方体宽的n2倍；方向再拼接这样的n3层，包装后长方体的高扩大到原长方体高的n3倍。 　　由于包装前后小长方体的总个数不变，所以包装方案的数学化可用n=n1?n2?n3来表示。 　　（二）包装方案数的确定 　　根据包装方案的数学化表示，要确定所有的包装方案，只要求出n的三因数分解的排列数。 　　例如：12个长方体的包装问题，有如下18种不同的包装方案： 　　12=12×1×1 12=1×12×1 12=6×12×1 　　12=6×2×1 12=6×1×2 12=2×6×1 　　12=2×1×6 12=1×6×2 12=1×2×6 　　12=4×3×1 12=4×1×3 12=3×4×1 　　12=3×1×4 12=1×4×3 12=1×3×4 　　12=3×2×2 12=2×3×2 12=2×2×3 　　（三）最优方案的确定 　　包装方案下，长方体的长、宽、高分别为n1a、n2b、n3c，表面积为。 　　问题转化为在，下，求的最小值问题，是非线性整数规划模型。 　　包装问题的数学模型： 　　四、模型求解 　　设 （），由n1、n2、n3确定的所有包方案（最多6种）中，最优包装方案为：（），最小表面积为S0。 　　其中（） 　　证明：设（n1，n2，n3）是n1，n2，n3（）的任意一个排列，该包装方案下的表面积为。 　　下面证明，即证。 　　我们以（ni，nj，nk）=（n2，n3，n1）为例给出证明，其他情况不再赘述。 　　因为， 　　所以，，，， 　　从而，即。 　　这样，我们得到了解决这类包装问题的一般方法：先求出n的三因数分解有几类，每一类按上述方法确定最优方案，再从这些方案中确定最优方案。 　　五、模型评价 　　本文利用初等数学的方法给出了包装方案的数学化，包装方案数的确定方法，建立了包装问题的非线性整数规划模型，给出了求解方法，后续进一步可思考n的三因数分解的排列数计算问题。 　　【参考文献】 　　[1]义务教育数学课程标准研制组编.小学数学五年级下册（实验版）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：82-83. 　　[2]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京：北京教育出版社，1998：46. 　　[3]黄忠裕.关于长方体规则打包的一些讨论[J].数学通报， 2004（10）：32. 　　[4]张思明，白永潇.数学课题学习的实践与探索[M].北京：高等教育出版社，2003：48-62. 4