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“定值”的探索 　　摘要：几何是数学知识中的一个重要学习内容。几何的学习有利于培养学生思考问题、探索问题的能力，也能提高学生的思维能力。因此文章对几何内容中的定值为对象进行了研究，总结了几种求解定值的特殊方法，以此提高学生的解题能力，提高对几何的学习兴趣，从而提高数学教学质量。 　　关键词：几何；定值；解题方式 　　G633.6 　　每一个学科的教学，主要目的都是为了提高教学质量，拓宽学生的素质，数学的教学也不例外。其中心是注重对学生发现性思维和整理性思维能力的培养，让学生遵循接受知识的规律，经过观察，思考，探求，辨析，归纳的过程，达到积累知识，进一步发展的目的。以下是学习几何定值中的探索。 　　在学习几何证明题中，几何定值问题可以培养学生的兴趣。如今是怎样去探讨这类问题的解法呢？现有一类定值问题，可以先确定定值，一般地是从特殊情况去发现和归纳的。具体来说可以从三种不同的情况去探求这个定值。第一是利用变量在图形中的极限位置去探求定值：什么是变量在图形中的极限位置呢？如假定某动点在某线段上运动，则此动点运动到线段端点时就不能向外?\动了，这时线段的端点就是动点运动的极限位置了。例如：（图1）等腰三角形ABC底边上的一点D到两腰的距离之和DE+DF为一定值，这时D点是动点，它在线段BC上运动。不论动点D运动到线段BC的那个位置上，DE+DF都保持不变，是一个固定的值。那么它是怎样得出这个定值的呢？我们先把动点运动到它的极限位置B（或C），则DE+DF变为BG（即一腰上的高），BG就是所要求的定值了。然后再就一般情况给予证明，问题就得到解决了。例如： （图2）“由正三角形内任意一点，到三边引垂线，则此三垂线段之和为一定值。”那么这个定值是什么呢？“这个定值是一边上的高。”为什么呢？“因为正三角形内任一点D它运动时的极限位置就是三个顶点，这时三条垂线段的和就变成为一条边上的高了，这条就是所求的定值。”这是定值的第一种方法。 　　第二种方法呢？第二种方法是利用变量在图形中的特殊情况来探求定值。为什么不利用极限位置呢？因为有时动点运动并没有极限位置，只能用特殊位置来求解了。例如：（图3）两平行线L1与L2分别与已知圆相切于A，B，作已知圆的任一切线L3与L1，L2分别交于C，D，证明AC，BD是一定值。这时切线L3就没有极限位置了（因为圆是平滑的曲线）。此时，我们可以找它的特殊位置来求定值。那么这个特殊位置在什么地方呢？我们可以把切线运动到与直径AB平行的位置，这时AC=BD=r，∴AC?BD=r2就是所求的定值。下面一道题也是用类似方法求定值：例如：（图4）有同心圆两个，大圆的直径为AB，小圆上有一动点p，则PA2+PB2为一定值。这个定值是什么呢？如何去找到呢？定值是PA2+PB2=20C2+20A2，即当动点P运动到C这一特殊位置时，PA=OA-OC，PB=OC+OB=OC+OA，∴PA2+PB2=（OA-OC）2+（OA+OC）2=2OA2+2OC2，而OA，OC为大圆与小圆的半径，当然为定值了。 　　第三个方法是，利用变量与常量的对应关系来探求定值。例如：（图5）：两圆相交于A，E，过A引直线交两圆于B，C，过B，C分别作两圆的切线相交于P，则∠P是一定值。这时不存在极限位置，特殊位置也不易找到。我们可以利用变量与常量间的关系来求定值，先从△PBC来看：∠P=1800-（∠1+∠3），但∠1=∠2， ∠3=∠4， 　　∴∠P=1800-（∠2+∠4）= ∠5+∠6，而∠5，∠6对着两段定弧。 　　∴∠5+∠6是一个定值，即∠P是一定值。再例如：（图6）二定圆相交于A，B两点，过A引任一割线CAD，连CB，DB，若把问题特殊化，CAD刚好是一圆过A点的切线（C，A重合），则∠CBD就是另一圆的圆弧的弦切角，即两圆过A切线的交角（定值）。作公共线弦AB，并过A作切线EF和GH，把∠CBD分成两部分，由弦切角和圆周角定理知∠ABD=∠GAD， ∠ABC=∠EAC，但∠EAC=∠FAD，则∠CBD=∠ABD+∠ABC=∠GAD+∠EAC=∠GAD+FAD=∠GAF，因为无论割线CAD的位置怎样变动，切线EP和GH的位置却是固定的，即∠GAF是定角，故∠CBD是一个定值。 　　以上通过对定值的讨论，探究了关于定值的特殊解题方式，然在实践中，我们还要对一般情况进行证明，才算完成证题。通过对定值问题的探讨，我们学习的是一种思维方式，以培养学生探索几何问题的能力，拓宽学生的视野，提高学生学习数学的兴趣为主要目的，为今后进一步的学习和创作打下良好的基础。 3