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以数学文化为背景的高考试题赏析 　　在2017年的高考考纲中，明确增加了数学文化的要求，数学文化作为考纲新出现的内容，应引起重视.数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学素养的教育中起着重要作用.以数学文化为背景的高考试题，在近几年的高考试题中已多次出现，本文就以数学文化为背景的高考试题作一赏析. 　　一、以数学史和数学名著为背景的试题 　　数学史和数学名著是数学文化的重要组成部分，以数学史和数学名著作为试题情境材料，可以培养学生学习数学的兴趣，让学生感受数学家探究、解决数学问题的过程，可以进一步弘扬中国优秀传统文化，增加学生的爱国主义情感. 　　例1（2015年全国卷Ⅰ文）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）. 　　A.14斛 　　B.22斛 　　C.36斛 　　D.66斛 　　解析设米堆的底面半径为r，则8=14?2πr， 　　因为π=3，所以r=163， 　　则V米堆=14?13πr2h=3209（立方尺）， 　　所以3209×1.62≈22（斛）. 　　二、以中外数学名题为背景的试题 　　数学历史名题或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或与深刻的数学内容相结合，或者深刻揭示了实质性的数学思想，或者与经典的解法相互关联，以中外数学名题为背景命题，也是以数学文化为背景的高考试题的一大特色. 　　例2（2009年湖北理）已知数列{an}满足：a1=m（m为正整数），an+1=an2，当an为偶数时，3an+1，当an为奇数时. 若a6=1，则m所有可能的取值为. 　　解析（本题源于角谷猜想：德国数学家克拉茨提出的：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n2）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.） 　　（1）若a1=m为偶数，则a12为偶，故a2=m2，a3=a22=m4. 　　①当m4仍为偶数时，a4=m8，…，a6=m32，故m32=1m=32； 　　②当m4为奇数时，a4=3a3+1=34m+1，…，a6=34m+14. 　　故34m+14=1得m=4. 　　（2）若a1=m为奇数，则a2=3a1+1=3m+1为偶数，故a3=3m+12必为偶数 　　…a6=3m+116，所以3m+116=1，可得m=5. 　　故填4，5，32. 　　例3（2014年湖北文）已知圆O：x2+y2=1和点A（-2，0），若定点B（b，0）（b≠-2）和常数λ满足：对圆O上那个任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则 　　（1）b=；（2）λ=. 　　解析（本题源于阿波罗圆，它的定义为：动点P到两定点F1，F2距离之比为定值λ（λ为正数），则动点P的轨迹是阿波罗圆.） 　　设圆上任一点（x，y），则x2+y2=1，又|MB|=λ|MA|， 　　所以有（x-b）2+y2=λ（x+2）2+y2， 　　消去y，整理得-2bx+b2+1=4λ2x+5λ2， 　　所以-2b=4λ2，b2+1=5λ2， 解之得b=-12，（2）λ=12. 　　三、以数学美为背景的试题 　　德国数学家克莱茵说“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌可以扣人心弦，科学可以改善物质生活，数学则可以提供以上的一切.”以上是人们对数学认识的最高境界，也是真正进入数学王国的人们的真实感受.数学是一门优美的科学，从形式到内容，从理论到实践，都体现着美的特征，展现着美的特征.数学具有形态美，和谐、整洁、对称、有序；具有思维美，思路清晰、构思巧妙、多向传导；作用美，数学是人类最高超的智力成就，是人类心灵最独特的创作；历史美，每一个公式、定理，每一种重要的方法，都隐藏着一个美好的历史故事. 　　例4（2014年福建理）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为. 　　解析（本题反映了数学图形的美妙对?Q性，在这种对称美的感化下，使得思维简化，从结构美最终促成了思维美.）由对数函数与指数函数的对称性，可知图中两块阴影部分的面积相等， 　　又S=2∫10（e-ex）dx=2（ex-ex）|10=2， 　　所以，落到阴影部分的概率为P=2e2. 4