341氢原子的能量本征值与本征函数.PPT

第四章：　量子力学初步 §4.1 薛定谔方程 3.4.4 3.4.5 ?简谐振子的能级示于图3.4.1，习惯上把能级画在势能曲线上。微观简谐振子能级的特点: 一是等距分布，间距ω.二是最低能级，即n=0的能级，仍有能量1/2ω，叫做“零点能”。这意味着没有静止的简谐振子。三是跃迁只能逐级进行，即能级之间的跃迁服从Δn=1的选择定则。由一、三可以得出绝对的谐振子测到的能谱中只有一条谱线。这些特点有时常被用来指导理论工作。 图3.4.2 简谐振子的波函数及概率密度 力学量的算符、本征值与本征函数 在量子力学中计算力学量时，力学量用算符表示， 在上节介绍薛定谔方程时已经指出，在经典的能量关系式中，如作变换 并使经典能量关系式两边作用于波函数，就得到薛定谔方程量子力学中的力学量，大部分以算符的形式出现 ＊§4.5 量子力学中的一些理论和方法 动能算符可由动量算符得到。因动能 故有 在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V由此式可知哈密顿算符为 薛定谔方程(3.1.1)和定态薛定谔方程(3.1.7)可以分别写成算符作用于波函数的形式： 算符 作用于自己的本征函数ψA，等于一个数值A乘以ψA。上式称为算符 的本征方程。解这个方程，就可得到算符 的一套本征函数ψA和相应的一套本征值A。 一个粒子可以有多个可测的物理量。若某粒子处于力学量A的本征态，则测量A时将得到确定值。若在A的本征态下测量另一个力学量B时，是否能得到确定的值，就不一定了。如果A，B能同时具有确定值，那么它们就具有共同的本征态， 4.5.3 角动量 角动量是原子物理中一个重要的力学量。本节介绍微观世界中角动量的特点。在经典力学中，角动量L的表示式是L=r×p。在量子力学中，对电子的轨道运动，保留这个关系，并将其用算符表示： 4.5.13 4.5.14 4.5.15 4.5.16 式中 为归一化因子，m称为磁量子数。从物理图像上看，以上结果表明轨道角动量在z方向上的投影值为m，这个现象称为角动量的空间量子化 是 本征函数 为使函数 在整个变化区域有界 总之，对微观角动量，及 可以同时测得确定值。 的本征值是 ， 的本征值是 。 这个结论，不但与经典力学不同，与玻尔理论也有根本性的差异，玻尔理论曾给出氢原子中电子的量子化角动量 。在量子力学中存在l=0。即L=0的状态，与玻尔概念是相矛盾的。L=0意味着轨道将通过原子核。量子力学中l的上限是n-1，而玻尔理论中， 可等于n。实验结果表明，量子力学结果是正确 * * 德布罗意引入了和粒子相联系的波。粒子的运动用波函数ψ=ψ(r·t)来描述，而粒子在时刻t在各处的概率密度为 ｜ψ｜2 。但是，怎样确定在给定条件(给定一势场)下的波函数呢? 式(4.1.1)称作薛定谔方程 4.1.1 量子力学中的薛定谔方程，相当于经典力学中的牛顿运动定律，是不能从什么更基本的原理中推出来的。它的正确与否，只能由科学实验来检验。实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本原理。我们可以从不同侧面发现薛定谔方程与经典力学概念之间的联系。 ? 从形式上看，如在经典关系式4.1.2)中作如下变换： 4.1.2 然后作用于波函数ψ，就得到薛定谔方程 下面研究定态薛定谔方程 在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种分离变数的方法求其特解，令特解表为 4.1.4 代入式(4.1.1)，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边： 令这常数为E，有 4.1.5 4.1.6 于是波函数ψ(r,t)可以写成 与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量，具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面，式(4.1.5)右边也等于E，故有 这是波函数中与坐标有关的部分ψ(r)所满足的方程，此方程称作定态薛定谔方程 ll 例4.1.1 试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法 （1） .. 对（1）x,y,z取二阶偏微商得到 等式相边相加，即有 为拉普拉斯算符 把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速小得多，它的能量公式是p2/2m=E，两边乘以ψ，即得 （2） （3） （4） （5） 得到一个自由粒子的薛定谔方程。 把(3)和(4)代入(5) 对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等于动能加势能 两边乘以ψ 自由粒子的薛定谔方程可以按此式推广成 （6） （7）