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利用极坐标计算一个三重积分
第26卷 第8期 赤峰 学 院 学报 (自然科 学版 ) V_0I.26No.8
2010年 8月 JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition) Aug.2010
利用极坐标计算一个三重积分
隋 英,孙常春
(沈阳建筑大学 理学院,辽宁 沈阳 110168)
摘 要:“先一后二法”和 “先二后一法”是三重积分化成三次定积分进行计算的基础,本文在极坐标下
通过一个三重积分的计算对这两种方法进行了诠释.
关键词:三重积分;先一后二法;先二后一法
中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:1673—260X(2010)08—0005—02
三重积分计算的思想是化三重积分为三次定 的函数,在区间z。x,y),z2x,y)]上对 z积分 ,积分的结
积分,即:将三重积分先化成一次定积分与一次二
重积分,从而再进一步将三重积分化成三次定积 果是x,Y的函数,记为Fx(,y),即:F(x,y)=f,、f(x,y,z)
分.三重积分化成一次定积分与一次二重积分的 ‘ dz.
算分两种情况 :先计算一个定积分,然后再计算一 然后计算 F(x,y)在闭区域 上的二重积分
个二重积分,叫 “先一后二法”,也叫 “投影法”;先计
算一个二重积分,再计算一个定积分,叫 “先二后一 JFx(,y=I【』x,y’z)dz]d
法”,也叫 “截面法”.本文介绍了这两种方法的具体
解法,并通过一个三重积分的计算诠释了这两种方 = x,y,z)dz= 圳v
法的使用.
1 “先一后二法” 闭区域D 上的二重积分可利用直角坐标计算
具体的解法是: 也可利用极坐标计算,从而将三重积分转化成三次
定积分进行计算.
也可以把n投影到yoz面上或XOZ面上,这样
就可以把三重积分转化成按其他顺序的三次积分.
2 “先二后一法”
具体的做法是:
1.1 投影:已知闭区域 Q的下曲面为S。.ZZx,y),
上曲面为s:z=zx,y),其中zl(x,y),zx,y)都是D 上
的连续函数.把闭区域 Q投影到xoy面上 ,得到一
个平面闭区域D .
y
1.2 定限:过 D一七的任意一点(x,y)做平行于z轴
的直线,这条直线通过曲面S穿入Q内,穿入点的
竖坐标为 zl(x,y);然后通过曲面S穿出Q外 ,穿出 X
点的竖坐标为z2(x,y).在这种情况下,积分区域 可 2.1 定限:把闭区域 Q投影到z轴上,得到闭区域
表示为: Q位于区间[c,c2J上.在(c,cz)_lz任取一点Z作垂直于
={(x,Y,z)lz1x,Y)≤z≤z2(x,y),x,y)∈D) z 轴的截面,截得的区域记作D.于是得到:
1.3 计算:先将 x,Y看作定值,将f(x,Y,z)只看作 z Q={(x,Y,z)lc1≤z≤c2,x,y)ED。】
2.2 计算 :将三重积分转化成先计算一个二重积 16 霄
.
分、再计算一个
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