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刚体定轴转动时相对瞬心的动量矩定理 　　摘 要：在理论力学教材中有关动量矩定理内容中，一般只给出矩心事固定点或质心的质点系动量矩定理。文章从质心动量矩定理出发，推导出刚体做平面运动时相对速度瞬心的动量矩定理，进一步指出对速度瞬心的动量矩定理与对质心的动量矩定理具有相同形式的条件。 　　关键词：速度瞬心 动量矩定理 刚体平面运动 　　中图分类号：0313.3 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）04-0025-01 　　1 引言 　　动量矩定理是力学中一个十分重要的定理，但是教材中只是讲了动量矩定理对于质量心成立。本文将证明动量矩定理不仅对固定点成立、对质心成立，而且对速度瞬心成立，同时指出只有在特殊情况下对速度瞬心的动量矩定理才具有与质心的动量矩定理同样的形式。 　　2 对瞬心的动量矩定理 　　如图1所示C为质点组的质心，Cx′y′z′为随质点组一起运动的动坐标系。Oxyz为惯性坐标系，O为惯性坐标系的原点且和质点组的速度瞬心p重合。在惯性坐标系Oxyz中任意质点mi的相对矢径为ri，质心C的相对矢心为rc。在此动坐标系 　　Cx′y′z′内，任一质点mi的相对矢径ric。如果刚体只绕x轴作定轴转动，质点系对于质心的动量矩定理为[1] 　　JCε= ric×Fi （1） 　　式中JC为质点组相对质心作定轴转动时的转动惯量，ε为质点组相对质心的转动角加速度，Fi 为作用到质点mi的外部载荷。由于刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，则相对于瞬心的转动惯量为： 　　JP=JC + Mr （2） 　　将式（2）代入到公式（1）并进行整理可得： 　　JPε= ric×Fi + Mr ε （3） 　　式中M为质点组的总质量。如图1所示，质点mi在动坐标系中的矢径ric等于其在惯性坐标系中的矢径rip减去质心在惯性坐标系中的矢径rcp，即ric=rip-rcp。将其代入到公式（3）中整理可得： 　　JPε= riP ×Fi -rcp× Fi + Mr ε （4） 　　由于有空间力对瞬心p的矩MP（F）=riP×Fi，式（4）可简写为： 　　JPε= M -rcp × Fi + Mr ε （5） 　　根据质心运动定理Mac= Fi，对上式中等号右边第三项进行简化可得： JPε= M -rcp × Mac + Mr ε （6） 　　对于质心C点处得加速度由两部分组成，切向加速度a 和OC连线相垂直，法向加速度a 顺着OC方向。由于整体坐标系中O点是物体运动的瞬心，所以切向速度vc=ω×rcp，式中ω为质点系对瞬心O的角速度。如果结构绕固定轴x作定轴转动，对质心C求导可得质心的加速度[2] 　　ac=ω×rcp+ ε×rcp=（ω×rcp）+ω× +ε×rcp （7） 　　（7）式中切线加速度a =ε×rcp+ ω× ，法向加速度a =ω×（ω×rcp），如图2所示。 　　将式（7）代入到式（6）中，公式（6）中等号右边第三项可写为： 　　rcp×Mac= Mrcp×（ω×（ω×rcp））+Mrcp×（ω× ）+Mrcp×（ε×rcp） （8） 　　由于法向加速度a 和矢径rcp方向相同，所以rcp×（ω×（ω×rcp））=0。三个矢量的二重叉积满足公式[3] rcp×（ε×rcp）=（rcp?rcp）ε-（rcp?ε）rcp，即（rcp?ε）rcp。公式（8）可以?写为： 　　rcp×Mac=Mr ε +Mr ×（ω× ） （9） 　　将公式（9）代入到公式（6）中可得 　　JPε+Mr ×（ω× ）= M （10） 　　这样我们得到了基于瞬心的动量矩定理，其形式较为复杂。但是，当刚体定轴转动时质心距离瞬心的距离不变时有 =0，则公式（10）可以简写为 　　JPε+Mr ×（ω× ）= M （11） 　　公式（11）的形式和刚体平面运动对质心的动量矩定理相同。 　　参考文献： 　　[1] 王铎，程靳.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2006. 3